Consideremos o operador , definido por: .
Para cada operator, encontre o que se pede a seguir: é diagonalizável? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá o operador linear
e pede para dizer se é diagonalizável em . O conteúdo que vamos usar envolve obter a matriz de na base canônica, calcular o polinômio característico e os autovalores (e seus espaços próprios) e verificar se há 4 autovetores em .
Passo 2
Na base canônica temos a matriz
Repare que A é em bloco triangular
A = B & C0 & D, B=3&-19&-3,; D=4&-82&-4
Passo 3
O polinômio característico fatoriza como
det(lambda I - A) = det(lambda I - B),det(lambda I - D)
Calculamos
det(lambda I - B) = lambda-3 & 1 -9 & lambda+3 =(lambda-3)(lambda+3)+9 =lambda^2,
As raízes de lambda^2-8lambda+32=0, a saber lambda=4pm4i, que não são reais.
Em R^4 só contamos com autovetores reais: para lambda=4pm4i não há autovetores em R^4.
Passo 5
Como não há 4 autovalores reais distintos nem 4 autovetores reais que gerem R^4, não existe base real de autovetores de T. Portanto Tnão é diagonalizável sobre R.
Resposta
T não é diagonalizável em R^4, pois seu polinômio característico tem duas raízes complexas não reais e, consequentemente, não se obtêm 4 autovetores reais.