Consideremos o operador T: R^4 R^4, definido por:
T(x, y, z, w)=(3 x-y+z-7 w, 9 x-3 y-7 z-w, 4 z-8 w, 2 z-4 w).
Para cada operator, encontre o que se pede a seguir:
T é diagonalizável? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear
Tcolon R^4 to R^4, T(x,y,z,w) = (3x - y + z -7w,;9x -3y -7z - w,;4z -8w,;2z -4w)
e pede para dizer se T é diagonalizável em R^4. O conteúdo que vamos usar envolve obter a matriz de T na base canônica, calcular o polinômio característico e os autovalores (e seus espaços próprios) e verificar se há 4 autovetores em R^4.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3,e4 temos a matriz
A = 3 & -1 & 1 & -7 9 & -3 & -7 & -1 0 & 0 & 4 & -8 0 & 0 & 2 & -4
Repare que A é em bloco triangular
A = B & C0 & D, B=3&-19&-3,; D=4&-82&-4

Passo 3

O polinômio característico fatoriza como
det(lambda I - A) = det(lambda I - B),det(lambda I - D)
Calculamos
det(lambda I - B) = lambda-3 & 1 -9 & lambda+3 =(lambda-3)(lambda+3)+9 =lambda^2,
det(lambda I - D) = lambda-4 & 8 -2 & lambda+4 =(lambda-4)(lambda+4)+16 =lambda^2 -8lambda +32
Logo
chiA(lambda)=lambda^2,(lambda^2 -8lambda +32)

Passo 4

Os autovalores são:
  • lambda=0 com multiplicidade algébrica 2.
  • As raízes de lambda^2-8lambda+32=0, a saber lambda=4pm4i, que não são reais.
Em R^4 só contamos com autovetores reais: para lambda=4pm4i não há autovetores em R^4.

Passo 5

Como não há 4 autovalores reais distintos nem 4 autovetores reais que gerem R^4, não existe base real de autovetores de T. Portanto T não é diagonalizável sobre R.

Resposta

T não é diagonalizável em R^4, pois seu polinômio característico tem duas raízes complexas não reais e, consequentemente, não se obtêm 4 autovetores reais.

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