Consideremos o operador , definido por: .
Para cada operator, encontre o que se pede a seguir:
Os autovalores e os autoespaços.
Passo 1
O enunciado nos dá um operador linear ;definido por
Queremos achar os autovalores e os autoespaços de . Para isso vamos representar por uma matriz na base canônica, calcular o polinômio característico e depois resolver para cada autovalor.
Passo 2
A matriz de na base canônica é
Passo 3
Observe que
com
Como é triangular em blocos,
Calculando
Logo
Portanto o único autovalor é , de multiplicidade algébrica .
Passo 4
Para achar o autoespaço de
Isto dá o sistema
As duas primeiras equações são equivalentes e fornecem (y=-2x]. Substituindo nas outras, ambas reduzem a
Logo
Assim o autoespaço é
Resposta
O único autovalor é lambda=1,
e o autoespaço correspondente é