Consideremos o operador T: R^4 R^4, definido por:
T(x, y, z, w)=(3 x+y,-4 x-y, 7 x+y+2 z+w,-17 x-6 y-z).
Para cada operator, encontre o que se pede a seguir:
Os autovalores e os autoespaços.

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear
;T:R^4toR^4;definido por
T(x,y,z,w)=(3x+y,,-4x-y,;7x+y+2z+w,;-17x-6y-z)
Queremos achar os autovalores e os autoespaços de T. Para isso vamos representar T por uma matriz A na base canônica, calcular o polinômio característico chiA(lambda)=det(A-lambda I) e depois resolver (A-lambda I)v=0 para cada autovalor.

Passo 2

A matriz de T na base canônica e1,e2,e3,e4 é
A= 3 & 1 & 0 & 0 -4 & -1 & 0 & 0 7 & 1 & 2 & 1 -17 & -6 & -1 & 0

Passo 3

Observe que
com
Como é triangular em blocos,
Calculando
Logo
Portanto o único autovalor é , de multiplicidade algébrica .

Passo 4

Para achar o autoespaço de
Isto dá o sistema
As duas primeiras equações são equivalentes e fornecem (y=-2x]. Substituindo nas outras, ambas reduzem a

Logo

Assim o autoespaço é

Resposta

O único autovalor é
lambda=1,
e o autoespaço correspondente é
E1=span(1,-2,0,-5),,(0,0,1,-1)

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