Consideremos o operador T: R^4 R^4, definido por:
T(x, y, z, w)=(3 x+y,-4 x-y, 7 x+y+2 z+w,-17 x-6 y-z).
Para cada operator, encontre o que se pede a seguir:
O polinômio característico.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear
Tcolon R^4 to R^4 ,, T(x,y,z,w) = (3x+y,,-4x-y,;7x+y+2z+w,;-17x-6y-z)
e pede o polinômio característico de T. Para isso, vamos colocar T numa base canônica, formar a matriz A de T, e depois calcular det(A-lambda I).

Passo 2

Vamos achar a matriz A de T na base padrão e1,e2,e3,e4.
T(e1)=T(1,0,0,0)=(3,,-4,;7,,-17), T(e2)=(1,,-1,,1,,-6),
T(e3)=(0,0,2,-1), T(e4)=(0,0,1,0)
Logo
A = 3 & 1 & 0 & 0 -4 & -1 & 0 & 0 7 & 1 & 2 & 1 -17 & -6 & -1 & 0

Passo 3

Formamos A-lambda I:
A - lambda I = 3-lambda & 1 & 0 & 0 -4 & -1-lambda& 0 & 0 7 & 1 & 2-lambda & 1 -17 & -6 & -1 & -lambda

Passo 4

Note que esta matriz tem a forma de bloco
B & 0 C & D ,
com
B = 3-lambda & 1 -4 & -1-lambda, D = 2-lambda & 1 -1 & -lambda
Num bloco triangular assim,
det(A-lambda I) = det(B),det(D)

Passo 5

Calculemos cada determinante:
det(B) = (3-lambda)(-1-lambda) - (1)(-4) = (lambda^2 -2lambda -3) +4 = lambda^2 -2lambda +1 = (lambda -1)^2,
det(D) = (2-lambda)(-lambda) - (1)(-1) = (lambda^2 -2lambda) +1 = lambda^2 -2lambda +1 = (lambda -1)^2
Portanto
det(A-lambda I) = (lambda -1)^2cdot(lambda -1)^2 = (lambda -1)^4

Resposta

p(lambda) = (lambda - 1)^4

Exercícios relacionados