Consideremos o operador T: R^4 R^4, definido por:
T(x, y, z, w)=(3 x+y,-4 x-y, 7 x+y+2 z+w,-17 x-6 y-z).
Para cada operator, encontre o que se pede a seguir:
As multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor.

Passo 1

O enunciado define o operador linear T:R^4toR^4 por
T(x,y,z,w) = (3x+y,,-4x-y,;7x+y+2z+w,,-17x-6y-z)
Queremos encontrar para cada autovalor de T sua multiplicidade algébrica e sua multiplicidade geométrica. Para isso, vamos:
  1. Escrever a matriz de T na base canônica.
  2. Calcular o polinômio característico e fatorá-lo para obter as multiplicidades algébricas.
  3. Determinar a dimensão do núcleo de A-lambda I para cada lambda, dando assim a multiplicidade geométrica.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3,e4, as colunas de A são T(ei). Temos
T(e1) = (3,-4,7,-17), T(e2) = (1,-1,1,-6), T(e3) = (0,0,2,-1), T(e4) = (0,0,1,0),
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A = 3 & 1 & 0 & 0 -4 & -1 & 0 & 0 7 & 1 & 2 & 1 -17 & -6 & -1 & 0

Passo 3

Como as duas entradas superiores à direita de A são nulas, A é parcialmente triangular por blocos. O polinômio característico é
chiA(lambda) = det(A - lambda I) = det 3-lambda & 1 & 0 & 0 -4 & -1-lambda & 0 & 0 7 & 1 & 2-lambda & 1 -17 & -6 & -1 & -lambda = det 3-lambda & 1 -4 & -1-lambda cdot det 2-lambda & 1 -1 & -lambda
Calculando cada determinante:
det 3-lambda & 1 -4 & -1-lambda = (3-lambda)(-1-lambda) - (1)(-4) = lambda^2 -2lambda +1 = (lambda-1)^2,
det 2-lambda & 1 -1 & -lambda = (2-lambda)(-lambda) - (1)(-1) = lambda^2 -2lambda +1 = (lambda-1)^2
Portanto
chiA(lambda) = (lambda-1)^2cdot(lambda-1)^2 = (lambda-1)^4

Passo 4

Do polinômio característico chiA(lambda)=(lambda-1)^4 concluímos que o único autovalor é lambda=1, com multiplicidade algébrica igual a 4.

Passo 5

Para a multiplicidade geométrica, estudamos o espaço próprio ker(A-I). Escrevendo A-I e equacionando (A-I)v=0 para v=(x,y,z,w):
A-I = 2 & 1 & 0 & 0 -4 & -2 & 0 & 0 7 & 1 & 1 & 1 -17 & -6 & -1 & -1 ,
as equações são
2x+y=0, -4x-2y=0 (redundante), 7x+y+z+w=0, -17x-6y-z-w=0 (mesma que a anterior)
Daí y=-2x e z+w=-5x. Temos dois graus de liberdade independentes, logo
dimker(A-I) = 2
Isso significa que a multiplicidade geométrica do autovalor lambda=1 é 2.

Resposta

O operador T tem apenas um autovalor lambda=1, com multiplicidade algébrica 4 e multiplicidade geométrica 2.

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