Consideremos o operador linear
, dado em cada item abaixo:
;
Em cada caso, determine:
os autoespaços generalizados de
;
Em cada caso, determine:
os autoespaços generalizados de
Passo 1
O enunciado dá o operador linear
em coordenadas canônicas de
por
O que precisamos é encontrar, para cada autovalor
, o espaço
, que em geral é a soma dos autoespaços próprios e dos espaços de vetores generalizados.
Passo 2
Primeiro calculamos o polinômio característico. Na base canônica a matriz de
é
Como é bloco triangular inferior,
Logo os autovalores são
lambda=3 (multiplicidade algébrica 2) e
lambda=2 (multiplicidade algébrica 2).
Passo 3
Agora achamos os autoespaços próprios
.
Para
,
Resolver
leva ao sistema
Fazendo
e
livres e eliminando
, obtemos a descrição
com
. Assim
de dimensão geométrica 2 igual à multiplicidade algébrica 2.
Para
,
implica
,
e
, logo
de dimensão geométrica 1 menor que a multiplicidade algébrica 2.
Passo 4
Como em
a dimensão geométrica já é 2, não há vetores generalizados extras e
Passo 5
Para
precisamos de vetores generalizados de ordem 2. Tomemos um autovetor
e procuramos
tal que
. Escrevendo
e usando a forma de
, obtemos
cuja solução mais simples é
. Então
e o autoespaço generalizado de ordem 2 é
Resposta
Os autoespaços generalizados de
são