Consideremos o operador linear T: V V, dado em cada item abaixo:
T(x, y, z, w)=(3 x, 3 y, 2 x-7 y+z+w,-5 x+2 y-z+3 w);
Em cada caso, determine:
os autoespaços generalizados de T;

Passo 1

O enunciado dá o operador linear Tcolon Vto V em coordenadas canônicas de R^4 por
T(x,y,z,w) = (3x,;3y,;2x-7y+z+w,;-5x+2y-z+3w)
O que precisamos é encontrar, para cada autovalor lambda, o espaço Glambda=cupk>=1kerl(T-lambda Ir)^k, que em geral é a soma dos autoespaços próprios e dos espaços de vetores generalizados.

Passo 2

Primeiro calculamos o polinômio característico. Na base canônica a matriz de T é
A= 3&0&0&0 0&3&0&0 2&-7&1&1 -5&2&-1&3
Como é bloco triangular inferior,
chiT(lambda)=det(A-lambda I) =(3-lambda)^2det1-lambda&1-1&3-lambda =(3-lambda)^2l((1-lambda)(3-lambda)+1r) =(3-lambda)^2(lambda-2)^2
Logo os autovalores são lambda=3 (multiplicidade algébrica 2) e lambda=2 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 3

Agora achamos os autoespaços próprios .
Para ,
Resolver leva ao sistema
Fazendo e livres e eliminando , obtemos a descrição
com . Assim
de dimensão geométrica 2 igual à multiplicidade algébrica 2.
Para ,
implica , e , logo
de dimensão geométrica 1 menor que a multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Como em a dimensão geométrica já é 2, não há vetores generalizados extras e

Passo 5

Para precisamos de vetores generalizados de ordem 2. Tomemos um autovetor
e procuramos tal que . Escrevendo e usando a forma de , obtemos
cuja solução mais simples é . Então
e o autoespaço generalizado de ordem 2 é

Resposta

Os autoespaços generalizados de são

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