Mostrar que além de 2=1^3+1 nenhum númcro da forma n^3+1 é primo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente mostrar que, além de 2 = 1^3 + 1, nenhum número da forma n^3 + 1 é primo. Vamos usar conceitos de álgebra para resolver isso, especialmente fatoração de expressões polinomiais. Vamos precisar entender como fatorar n^3 + 1 e verificar se isso gera números primos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar fatorar a expressão n^3 + 1. Sabemos que n^3 + 1 é uma soma de cubos, e a fórmula para fatorar uma soma de cubos é:
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
Aqui, a = n e b = 1. Então, aplicando a fórmula:
n^3 + 1 = (n + 1)(n^2 - n cdot 1 + 1^2) = (n + 1)(n^2 - n + 1)

Passo 3

Agora que fatoramos n^3 + 1 em (n + 1)(n^2 - n + 1), vamos analisar os fatores. Para um número ser primo, ele só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo.
Vamos ver o que acontece para diferentes valores de n:
  • Quando n = 1:
1^3 + 1 = 1 + 1 = 2
O número 2 é primo, conforme o problema já menciona.
  • Quando n > 1:
    • n + 1 será pelo menos 3 (já que n > 1)
    • n^2 - n + 1 será também um número maior que 1. Por exemplo, se n = 2:
2^2 - 2 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3
Então, para n > 1, temos dois fatores: (n + 1) e (n^2 - n + 1), ambos maiores que 1. Isso significa que n^3 + 1 pode ser dividido por pelo menos esses dois números, ou seja, não é primo.

Resposta

Portanto, além de 2 = 1^3 + 1, nenhum número da forma n^3 + 1 é primo quando n > 1.

Exercícios relacionados