Mostrar que além de
nenhum númcro da forma
é primo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente mostrar que, além de
, nenhum número da forma
é primo. Vamos usar conceitos de álgebra para resolver isso, especialmente fatoração de expressões polinomiais. Vamos precisar entender como fatorar
e verificar se isso gera números primos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar fatorar a expressão
. Sabemos que
é uma soma de cubos, e a fórmula para fatorar uma soma de cubos é:
Aqui,
e
. Então, aplicando a fórmula:
Passo 3
Agora que fatoramos
em
, vamos analisar os fatores. Para um número ser primo, ele só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo.
Vamos ver o que acontece para diferentes valores de
:
- Quando
:
O número 2 é primo, conforme o problema já menciona.
- Quando
: -
será pelo menos 3 (já que ) -
será também um número maior que 1. Por exemplo, se :
-
Então, para
, temos dois fatores:
e
, ambos maiores que 1. Isso significa que
pode ser dividido por pelo menos esses dois números, ou seja, não é primo.
Resposta
Portanto, além de
, nenhum número da forma
é primo quando
.