Consideremos o operador linear
, dado em cada item abaixo:
;
Em cada caso, determine:
uma base
de
, tal que
esteja na forma canônica de Jordan;
Em cada caso, determine:
uma base
Passo 1
O enunciado define o operador linear
em
. O objetivo é encontrar uma base
em que a matriz de
fique em forma de Jordan. Para isso precisamos:
- Calcular o polinômio característico de
e achar os autovalores com suas multiplicidades algébrica e geométrica. - Construir bases de autovetores para cada autovalor.
- Para blocos de Jordan de tamanho maior que 1, encontrar vetores generalizados.
Passo 2
Em coordenadas canônicas
, a matriz de
é
O polinômio característico separa-se em dois blocos: um
2times2 para o valor
3 e outro
2times2
1&1-1&3 cujo traço é
4 e determinante
2 , dando
Passo 3
Autovalor
com duas variáveis livres. Uma base do espaço próprio é, por exemplo,
pois para esses vetores (T(v_i)=3v_i].
Passo 4
Autovalor
lambda=2 . Resolvendo
(A-2I)v=0 obtemos
logo o espaço próprio é gerado por
com
T(v3)=2v3 . A multiplicidade geométrica de
2 é
1 , logo teremos um bloco de Jordan de tamanho
2 .
Passo 5
Para completar o bloco de Jordan de tamanho
2 em
lambda=2 , precisamos de
v4 tal que
Escrevendo
v4=(x,y,z,w) e impondo
(T-2I)v4=(0,0,1,1) obtemos
então podemos escolher
z=0 ,
w=1 , isto é
e de fato
(T-2I)v4 = v3 .
Passo 6
Juntando, uma base de Jordan é
com
Na ordem
v1,v2,v3,v4 a matriz de
T fica
isto é, blocos de Jordan
l(3r) ,
l(3r) e
J2(2) .
Resposta
Uma base que leva
T à forma de Jordan é
e então