Consideremos o operador linear T: V V, dado em cada item abaixo:
T(x, y, z, w)=(3 x, 3 y, 2 x-7 y+z+w,-5 x+2 y-z+3 w);
Em cada caso, determine:
uma base B de V, tal que [T]B esteja na forma canônica de Jordan;

Passo 1

O enunciado define o operador linear
T(x,y,z,w) = (3x,;3y,;2x-7y+z+w,;-5x+2y-z+3w)
em V= R^4. O objetivo é encontrar uma base B em que a matriz de T fique em forma de Jordan. Para isso precisamos:
  1. Calcular o polinômio característico de T e achar os autovalores com suas multiplicidades algébrica e geométrica.
  2. Construir bases de autovetores para cada autovalor.
  3. Para blocos de Jordan de tamanho maior que 1, encontrar vetores generalizados.

Passo 2

Em coordenadas canônicas (e1,e2,e3,e4), a matriz de T é
A = 3 & 0 & 0 & 0 0 & 3 & 0 & 0 2 & -7 & 1 & 1 -5 & 2 & -1 & 3
O polinômio característico separa-se em dois blocos: um 2times2 para o valor 3 e outro 2times2
1&1-1&3 cujo traço é 4 e determinante 2, dando
chiA(lambda) = (lambda-3)^2(lambda-2)^2

Passo 3

Autovalor
com duas variáveis livres. Uma base do espaço próprio é, por exemplo,
pois para esses vetores (T(v_i)=3v_i].

Passo 4

Autovalor lambda=2. Resolvendo (A-2I)v=0 obtemos
x=0, y=0, -z+w=0,
logo o espaço próprio é gerado por
v3 = (0,0,1,1),
com T(v3)=2v3. A multiplicidade geométrica de 2 é 1, logo teremos um bloco de Jordan de tamanho 2.

Passo 5

Para completar o bloco de Jordan de tamanho 2 em lambda=2, precisamos de v4 tal que
(T-2I)v4 ;=; v3
Escrevendo v4=(x,y,z,w) e impondo (T-2I)v4=(0,0,1,1) obtemos
x=0,;y=0,;-z+w=1,
então podemos escolher z=0, w=1, isto é
v4 = (0,0,0,1),
e de fato (T-2I)v4 = v3.

Passo 6

Juntando, uma base de Jordan é
B = ,v1,v2,;v3,;v4
com
v1=(1,0,-5,-12),; v2=(0,1,2,11),; v3=(0,0,1,1),; v4=(0,0,0,1)
Na ordem v1,v2,v3,v4 a matriz de T fica
[T] B = 3&0&0&0 0&3&0&0 0&0&2&1 0&0&0&2 ,
isto é, blocos de Jordan l(3r), l(3r) e J2(2).

Resposta

Uma base que leva T à forma de Jordan é
B = l(1,0,-5,-12),;(0,1,2,11),;(0,0,1,1),;(0,0,0,1)r
e então
[T] B = diagl(3,,3,,J2(2)r) = 3&0&0&0 0&3&0&0 0&0&2&1 0&0&0&2

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