Mostrar que se
é um primo ímpar, então n é urna potência de 2 .
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que se
é um número primo ímpar, então o
precisa ser uma potência de 2. Isso está ligado ao estudo dos números primos e potências, mais especificamente aos chamados números primos de Fermat. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre propriedades das potências e dos números primos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número primo. Um número primo é aquele que só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo. Agora, o exercício foca em números da forma
. Queremos provar que, se esse número for primo, então
tem que ser uma potência de 2, ou seja,
para algum inteiro
.
Passo 3
Vamos assumir que
é primo e que
não é uma potência de 2. Se
não for potência de 2, então podemos escrever
, onde
e
também é maior que 1. Isso significa que
tem fatores além de 1 e ele mesmo.
Passo 4
Substituindo
na expressão original, temos:
Podemos reescrever isso usando propriedades das potências:
Agora, se tentarmos fatorar essa expressão, veremos que ela pode ser dividida por um número menor que ela, o que significa que
não seria primo. Isso contraria nossa hipótese de que
é primo.
Passo 5
Portanto, nossa suposição de que
não é uma potência de 2 leva a uma contradição. Isso significa que, para
ser primo,
precisa ser uma potência de 2.
Resposta
Assim, mostramos que se
é um número primo ímpar, então
deve ser uma potência de 2.