Mostrar que se 2^n+1 é um primo ímpar, então n é urna potência de 2 .

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que se 2^n + 1 é um número primo ímpar, então o n precisa ser uma potência de 2. Isso está ligado ao estudo dos números primos e potências, mais especificamente aos chamados números primos de Fermat. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre propriedades das potências e dos números primos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número primo. Um número primo é aquele que só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo. Agora, o exercício foca em números da forma 2^n + 1. Queremos provar que, se esse número for primo, então n tem que ser uma potência de 2, ou seja, n = 2^k para algum inteiro k.

Passo 3

Vamos assumir que 2^n + 1 é primo e que n não é uma potência de 2. Se n não for potência de 2, então podemos escrever n = a times b, onde a > 1 e b também é maior que 1. Isso significa que n tem fatores além de 1 e ele mesmo.

Passo 4

Substituindo n = a times b na expressão original, temos:
2^n + 1 = 2^a times b + 1
Podemos reescrever isso usando propriedades das potências:
2^a times b + 1 = (2^a)^b + 1
Agora, se tentarmos fatorar essa expressão, veremos que ela pode ser dividida por um número menor que ela, o que significa que 2^n + 1 não seria primo. Isso contraria nossa hipótese de que 2^n + 1 é primo.

Passo 5

Portanto, nossa suposição de que n não é uma potência de 2 leva a uma contradição. Isso significa que, para 2^n + 1 ser primo, n precisa ser uma potência de 2.

Resposta

Assim, mostramos que se 2^n + 1 é um número primo ímpar, então n deve ser uma potência de 2.

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