Consideremos o operador linear T: V V, dado em cada item abaixo:
T(x, y, z, w)=(2 x+6 y+z+w,-4 y-z+w, y-2 z+w,-3 w);
Em cada caso, determine:
os autoespaços de T;

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T:Vto V em coordenadas pela
T(x,y,z,w) = (2x+6y+z+w,,-4y - z + w,;y-2z+w,;-3w)
Estamos em V= R^4. Para encontrar os autoespaços, precisamos achar os valores próprios lambda tais que det(A-lambda I)=0, onde A é a matriz de T na base canônica, e em seguida calcular ker(A-lambda I) para cada lambda.

Passo 2

Escrevendo A na base canônica:
A = 2 & 6 & 1 & 1 0 & -4 & -1 & 1 0 & 1 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & -3 ,
vemos que é bloco–triangular, com um bloco 2 e um bloco
-4 & -11 & -2 mais o -3 isolado na diagonal. O polinômio característico é
det(A-lambda I) =(2-lambda)det!-4-lambda & -11 & -2-lambda,( -3-lambda)
Mas
det!-4-lambda & -11 & -2-lambda =(lambda+4)(lambda+2)+1 =lambda^2+6lambda+9=(lambda+3)^2
Logo
det(A-lambda I)=(2-lambda)(lambda+3)^2(lambda+3) =(2-lambda)(lambda+3)^3
Os valores próprios são
lambda1 = 2(mu< alg 1), lambda2 = -3(mu< alg 3)

Passo 3

Autoespaço para
Da última equação vem e (mesma equação), ou seja . A terceira dá
, e . Resta livre. Logo

Passo 4

Autoespaço para
Das duas equações do meio: de somadas vem e então . Substituindo em
Logo um vetor próprio genérico é . Assim

Resposta

,
.

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