Consideremos o operador linear , dado em cada item abaixo: ;
Em cada caso, determine:
uma base de , tal que esteja na forma canônica de Jordan;
Passo 1
O enunciado dá o operador linear em pela fórmula
Queremos achar uma base de em que a matriz de seja a forma canônica de Jordan. Para isso, vamos (i) achar os autovalores e seus multiplicadores, (ii) determinar as cadeias de Jordan e construir a base.
Passo 2
Em relação à base canônica, a matriz de é
Como A é triangular por blocos, chiA(lambda)=det(A-lambda I) =det!3-lambda&-19&-3-lambda cdotdet!4-lambda&-82&-4-lambda =lambda^2cdotlambda^2=lambda^4
Logo o único autovalor é lambda=0 com multiplicidade algébrica 4, e T é nilpotente.
Passo 3
Calcula-se que
A^2=0,
isto é, T^2=0. Portanto o índice de nilpotência é 2 e o polinômio mínimo é lambda^2. Logo cada bloco de Jordan tem tamanho no máximo 2.
Passo 4
A dimensão do núcleo de vale
pois ao resolver obtemos e , com dois graus de liberdade. Em geral para um operador nilpotente de dimensão vale
,
e o número de blocos de Jordan é . Assim a partição de em dois blocos, cada um de tamanho e maior bloco de tamanho , é necessariamente . Concluímos que a forma de Jordan é
com
Passo 5
Agora construímos duas cadeias de Jordan de comprimento 2. Primeiro achamos uma base de ker T. Resolve-se
T(x,y,z,w)=0 ;Longrightarrow; y=3x-5w,;z=2w,
então um bom par de vetores em ker T é
w1=(1,3,0,0), w2=(0,-5,2,1)
Passo 6
Em seguida buscamos v1,v2 tais que ;T(vi)=wi.
Para w1 tomamos
v1=(0,-1,0,0),
pois
T(0,-1,0,0)=(1,3,0,0)=w1
Para w2 escolhemos inicialmente v2=(1,-tfrac32,tfrac52,1), mas para evitar frações redefinimos
v2'=(2,-3,5,2), w2'=T(v2')=2,w2=(0,-10,4,2)
Então trabalhamos com a cadeia (w2',v2').
Passo 7
Finalmente adotamos a base de Jordan
B =l,w1,;v1,;w2',;v2'r =l(1,3,0,0),,(0,-1,0,0),,(0,-10,4,2),,(2,-3,5,2)r