Consideremos o operador linear T: V V, dado em cada item abaixo:
T(x, y, z, w)=(3 x-y+z-7 w, 9 x-3 y-7 z-w, 4 z-8 w, 2 z-4 w);
Em cada caso, determine:
uma base B de V, tal que [T]B esteja na forma canônica de Jordan;

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T:Vto V em dim V=4 pela fórmula
T(x,y,z,w)=(3x - y + z -7w,;9x -3y -7z -w,;4z-8w,;2z-4w)
Queremos achar uma base B de V em que a matriz de T seja a forma canônica de Jordan. Para isso, vamos (i) achar os autovalores e seus multiplicadores, (ii) determinar as cadeias de Jordan e construir a base.

Passo 2

Em relação à base canônica, a matriz de T é
A= 3 & -1 & 1 & -7 9 & -3 & -7 & -1 0 & 0 & 4 & -8 0 & 0 & 2 & -4
Como A é triangular por blocos,
chiA(lambda)=det(A-lambda I) =det!3-lambda&-19&-3-lambda cdotdet!4-lambda&-82&-4-lambda =lambda^2cdotlambda^2=lambda^4
Logo o único autovalor é lambda=0 com multiplicidade algébrica 4, e T é nilpotente.

Passo 3

Calcula-se que
A^2=0,
isto é, T^2=0. Portanto o índice de nilpotência é 2 e o polinômio mínimo é lambda^2. Logo cada bloco de Jordan tem tamanho no máximo 2.

Passo 4

A dimensão do núcleo de vale
pois ao resolver obtemos e , com dois graus de liberdade. Em geral para um operador nilpotente de dimensão vale
,
e o número de blocos de Jordan é . Assim a partição de em dois blocos, cada um de tamanho e maior bloco de tamanho , é necessariamente . Concluímos que a forma de Jordan é
com

Passo 5

Agora construímos duas cadeias de Jordan de comprimento 2. Primeiro achamos uma base de ker T. Resolve-se
T(x,y,z,w)=0 ;Longrightarrow; y=3x-5w,;z=2w,
então um bom par de vetores em ker T é
w1=(1,3,0,0), w2=(0,-5,2,1)

Passo 6

Em seguida buscamos v1,v2 tais que
;T(vi)=wi.
Para w1 tomamos
v1=(0,-1,0,0),
pois
T(0,-1,0,0)=(1,3,0,0)=w1
Para w2 escolhemos inicialmente v2=(1,-tfrac32,tfrac52,1), mas para evitar frações redefinimos
v2'=(2,-3,5,2), w2'=T(v2')=2,w2=(0,-10,4,2)
Então trabalhamos com a cadeia (w2',v2').

Passo 7

Finalmente adotamos a base de Jordan
B =l,w1,;v1,;w2',;v2'r =l(1,3,0,0),,(0,-1,0,0),,(0,-10,4,2),,(2,-3,5,2)r
Nessa ordem, a matriz de T em B é blocada:
[T]B = 0&1&0&0 0&0&0&0[6pt] 0&0&0&1 0&0&0&0 =diag!l(J2(0),J2(0)r) ]

Resposta

A base B=(1,3,0,0),,(0,-1,0,0),,(0,-10,4,2),,(2,-3,5,2) leva
[T] B = 0&1&0&0 0&0&0&0 0&0&0&1 0&0&0&0 ,
que é a forma canônica de Jordan com dois blocos J2(0).

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