Consideremos o operador linear T: V V, dado em cada item abaixo:
T(x, y, z, w)=(2 x+6 y+z+w,-4 y-z+w, y-2 z+w,-3 w);
Em cada caso, determine:
uma base B de V, tal que [T]B esteja na forma canônica de Jordan;

Passo 1

O enunciado pede a forma canônica de Jordan de Tcolon Vto V, onde VcongR^4 e
T(x,y,z,w) = (2x+6y+z+w,,-4y-z+w,;y-2z+w,;-3w)
Vamos (a) obter a matriz de T na base canônica, (b) calcular o polinômio característico e os autovalores, (c) determinar as dimensões dos autoespaços para ver as cadeias de Jordan, (d) escolher um vetor-próprio para cada autovalor e estender a cadeias de vetores generalizados, e por fim (e) escrever a base que leva T à forma de Jordan.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3,e4, as colunas de A=[T] são T(ei). Logo
A = 2 & 6 & 1 & 1 0 & -4 & -1 & 1 0 & 1 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & -3
O polinômio característico é
det(A-lambda I) =(-3-lambda),det 2-lambda & 6 & 1 0 & -4-lambda & -1 0 & 1 & -2-lambda =(2-lambda),( lambda+3)^2,(-3-lambda)
ou seja
chiA(lambda)=-(lambda-2)(lambda+3)^3
Portanto os autovalores são lambda=2 (multiplicidade algébrica 1) e lambda=-3 (multiplicidade algébrica 3).

Passo 3

Verificamos a dimensão do autoespaço para lambda=2. Resolve-se
(A-2I)(x,y,z,w)^T=0 ;Longrightarrow; w=0,;z=-6y,;25y=0,
de onde y=z=w=0 e x livre. Podemos escolher
u = (1,0,0,0)
como vetor-próprio associado a lambda=2. Logo o espaço próprio de lambda=2 é unidimensional.

Passo 4

Para lambda=-3 resolvemos (A+3I)v=0. Escrevendo v=(x,y,z,w), obtemos
w=0,;x=z,;x=-y+zLongrightarrow x=z,;y=-z,;w=0
Tomando z=1, um vetor-próprio é
v2 = (1,-1,1,0)
Como a multiplicidade geométrica é 1, teremos um bloco de Jordan de tamanho 3 para lambda=-3.

Passo 5

Precisamos então de vetores generalizados v3,v4 tais que
(A+3I)v3 = v2, (A+3I)v4 = v3
Escrevendo v3=(a,b,c,d) e impondo (A+3I)v3=v2 chega-se a
d=0,;c=1,;a=0,;b=0,
logo podemos escolher
v3 = (0,0,1,0)

Passo 6

Agora achamos v4=(p,q,r,s) resolvendo (A+3I)v4=v3. Uma escolha inteira conveniente é
v4 = (0,-2,7,5),
pois de fato
(A+3I)(0,-2,7,5)^T = (0,0,10,0)^T = 10,(0,0,1,0)^T = 10,v3
Assim, se preferirmos manter (A+3I)v4=v3, basta redefinir v3>=ts 10,v3=(0,0,10,0) e manter este v4.

Passo 7

Com isso temos uma cadeia de comprimento 3 para lambda=-3:
(A+3I)v2=0, (A+3I)v3=v2,(A+3I)v4=v3,
e um vetor-próprio u para lambda=2. A base que leva A à forma de Jordan é
B = l(v2,,v3,,v4,,ur)
Na ordem dessa base, a matriz de T fica
[T]B = -3 & 1 & 0 & 0 0 &-3 & 1 & 0 0 & 0 &-3 & 0 0 & 0 & 0 & 2 ,
isto é, um bloco de Jordan 3times3 para lambda=-3 e um bloco 1times1 para lambda=2.

Resposta

A base
B=l((1,-1,1,0),,(0,0,10,0),,(0,-2,7,5),,(1,0,0,0)r)
leva T à forma canônica de Jordan
[T]B = -3 & 1 & 0 & 0 0 &-3 & 1 & 0 0 & 0 &-3 & 0 0 & 0 & 0 & 2

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