Consideremos o operador linear
, dado em cada item abaixo:
;
Em cada caso, determine:
uma base
de
, tal que
esteja na forma canônica de Jordan;
Em cada caso, determine:
uma base
Passo 1
O enunciado pede a forma canônica de Jordan de
, onde
e
Vamos (a) obter a matriz de
na base canônica, (b) calcular o polinômio característico e os autovalores, (c) determinar as dimensões dos autoespaços para ver as cadeias de Jordan, (d) escolher um vetor-próprio para cada autovalor e estender a cadeias de vetores generalizados, e por fim (e) escrever a base que leva
à forma de Jordan.
Passo 2
Na base canônica
, as colunas de
são
. Logo
O polinômio característico é
ou seja
Portanto os autovalores são
lambda=2 (multiplicidade algébrica
1 ) e
lambda=-3 (multiplicidade algébrica
3 ).
Passo 3
Verificamos a dimensão do autoespaço para
lambda=2 . Resolve-se
de onde
y=z=w=0 e
x livre. Podemos escolher
como vetor-próprio associado a
lambda=2 . Logo o espaço próprio de
lambda=2 é unidimensional.
Passo 4
Para
lambda=-3 resolvemos
(A+3I)v=0 . Escrevendo
v=(x,y,z,w) , obtemos
Tomando
z=1 , um vetor-próprio é
Como a multiplicidade geométrica é
1 , teremos um bloco de Jordan de tamanho
3 para
lambda=-3 .
Passo 5
Precisamos então de vetores generalizados
v3,v4 tais que
Escrevendo
v3=(a,b,c,d) e impondo
(A+3I)v3=v2 chega-se a
logo podemos escolher
Passo 6
Agora achamos
v4=(p,q,r,s) resolvendo
(A+3I)v4=v3 . Uma escolha inteira conveniente é
pois de fato
Assim, se preferirmos manter
(A+3I)v4=v3 , basta redefinir
v3>=ts 10,v3=(0,0,10,0) e manter este
v4 .
Passo 7
Com isso temos uma cadeia de comprimento
3 para
lambda=-3 :
e um vetor-próprio
u para
lambda=2 . A base que leva
A à forma de Jordan é
Na ordem dessa base, a matriz de
T fica
isto é, um bloco de Jordan
3times3 para
lambda=-3 e um bloco
1times1 para
lambda=2 .
Resposta
A base
leva
T à forma canônica de Jordan