Consideremos o operador linear T: V V, dado em cada item abaixo:
T(x, y, z, w)=(2 x+6 y+z+w,-4 y-z+w, y-2 z+w,-3 w);
Em cada caso, determine:
os autoespaços generalizados de T;

Passo 1

O enunciado dá o operador linear
T(x,y,z,w)=(2x+6y+z+w,,-4y-z+w,;y-2z+w,;-3w)
em V=R^4 (ou C^4). Precisamos encontrar, para cada autovalor lambda, o autoespaço generalizado
G(lambda)=kerl(T-lambda Ir)^mlambda,
onde mlambda é a multiplicidade algébrica de lambda.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T na base canônica e calculamos o polinômio característico. A matriz é
M= 2 & 6 & 1 & 1 0 & -4 & -1 & 1 0 & 1 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & -3
Como há um bloco triangular no canto inferior direito,
chiT(lambda)=det(M-lambda I) =l(-3-lambdar)det 2-lambda & 6 & 1 0 & -4-lambda & -1 0 & 1 & -2-lambda
Calculando o determinante 3times3
det 2-lambda & 6 & 1 0 & -4-lambda & -1 0 & 1 & -2-lambda =(2-lambda)l((lambda+4)(lambda+2)+1r) =(2-lambda)(lambda+3)^2,
então
chiT(lambda)=(2-lambda)(lambda+3)^3
Logo os autovalores são lambda=2 (mult.\ alg.\ 1) e lambda=-3 (mult.\ alg.\ 3).

Passo 3

Autovalor . Resolvemos . A última equação dá .
As duas equações seguintes impõem . Logo
isto é
de dimensão .

Passo 4

Autovalor . Defina . A matriz de é
Para o autoespaço próprio resolvemos , que leva a
ou seja
dimensão .

Passo 5

Para o autoespaço generalizado de lambda=-3 precisamos de ker N^3. Calcula-se
N^2,;N^3Longrightarrow dimker N^2=2, dimker N^3=3
Explicitamente
ker N^3=(x,y,z,w)mid 5(x+y)+2w=0,
que é subespaço de dimensão 3. Uma base conveniente é, por exemplo,
v1=(-1,1,-1,0), v2=(0,0,1,0), v3=(-2,0,0,5)

Resposta

Autoespaços generalizados de :
Grau
Grau

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