Consideremos o operador linear
, dado em cada item abaixo:
;
Em cada caso, determine:
os autoespaços generalizados de
;
Em cada caso, determine:
os autoespaços generalizados de
Passo 1
O enunciado dá o operador linear
em
(ou
). Precisamos encontrar, para cada autovalor
, o autoespaço generalizado
,
onde é a multiplicidade algébrica de
.
onde
Passo 2
Escrevemos a matriz de
na base canônica e calculamos o polinômio característico. A matriz é
Como há um bloco triangular no canto inferior direito,
Calculando o determinante
3times3
então
Logo os autovalores são
lambda=2 (mult.\ alg.\
1 ) e
lambda=-3 (mult.\ alg.\
3 ).
Passo 3
Autovalor
. Resolvemos
. A última equação dá
.
As duas equações seguintes impõem . Logo
As duas equações seguintes impõem
isto é
de dimensão
.
Passo 4
Autovalor
. Defina
. A matriz de
é
Para o autoespaço próprio resolvemos
, que leva a
ou seja
dimensão
.
Passo 5
Para o autoespaço generalizado de
lambda=-3 precisamos de
ker N^3 . Calcula-se
Explicitamente
que é subespaço de dimensão
3 . Uma base conveniente é, por exemplo,
Resposta
Autoespaços generalizados de
:
Grau
Grau
Grau