Encontre um subconjunto dos vetores dados que forma uma base do espaço gerado por estes vetores; em seguida, expresse cada vetor que não está na base como uma combinação linear dos vetores da base.
Passo 1
O enunciado dá quatro vetores em
:
,
,
,
.
Pede-se um subconjunto desses vetores que forme uma base do espaço que eles geram e, depois, expressar cada vetor não-base como combinação linear dos vetores da base. Vamos usar os conceitos de independência linear e combinação linear.
Pede-se um subconjunto desses vetores que forme uma base do espaço que eles geram e, depois, expressar cada vetor não-base como combinação linear dos vetores da base. Vamos usar os conceitos de independência linear e combinação linear.
Passo 2
Verificamos se
é múltiplo de
. De fato,
Logo,
é dependente de
e não acrescenta dimensão ao espaço gerado.
Passo 3
Checamos se
é independente de
. Note que não existe escalar
tal que
, pois as razões entre componentes não coincidem. Portanto,
é um conjunto independente.
Passo 4
Expressamos
como combinação linear de
e
. Procuramos
tais que
Testando
e
temos
Logo
.
Passo 5
Concluímos que a dimensão do espaço gerado é
, e que
é base. Os outros vetores ficam escritos como:
e
.
Resposta
Base escolhida:
.
.
.