Encontre um subconjunto dos vetores dados que forma uma base do espaço gerado por estes vetores; em seguida, expresse cada vetor que não está na base como uma combinação linear dos vetores da base.
v1=(1,-2,0,3), v2=(2,-4,0,6), v3=(-1,1,2,0), v4=(0,-1,2,3)

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em R^4:
v1=(1,-2,0,3),
v2=(2,-4,0,6),
v3=(-1,1,2,0),
v4=(0,-1,2,3).
Pede-se um subconjunto desses vetores que forme uma base do espaço que eles geram e, depois, expressar cada vetor não-base como combinação linear dos vetores da base. Vamos usar os conceitos de independência linear e combinação linear.

Passo 2

Verificamos se v2 é múltiplo de v1. De fato,
2v1 =2,(1,-2,0,3) =(2,-4,0,6) =v2
Logo, v2 é dependente de v1 e não acrescenta dimensão ao espaço gerado.

Passo 3

Checamos se v3 é independente de v1. Note que não existe escalar lambda tal que lambdav1=v3, pois as razões entre componentes não coincidem. Portanto, v1,v3 é um conjunto independente.

Passo 4

Expressamos v4 como combinação linear de v1 e v3. Procuramos alpha,beta tais que
alphav1+betav3 =(0,-1,2,3)
Testando alpha=1 e beta=1 temos
v1+v3 =(1,-2,0,3)+(-1,1,2,0) =(0,-1,2,3) =v4
Logo v4=v1+v3.

Passo 5

Concluímos que a dimensão do espaço gerado é 2, e que v1,v3 é base. Os outros vetores ficam escritos como:
v2=2v1 e v4=v1+v3.

Resposta

Base escolhida: v1,v3.
v2=2v1.
v4=v1+v3.

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