Consideremos o operador linear T: R^3 longrightarrow R^3 definido por
T(x, y, z)=(x+2 y+2 z, x+2 y-z,-x+y+4 z)
Determinar o vetor v in R^3 tal que T(v)=v.

Passo 1

O enunciado pede o vetor vinR^3 tal que
T(v)=v,
onde
T(x,y,z) = (x + 2y + 2z,;x + 2y - z,;-x + y + 4z)
Isso equivale a encontrar o espaço próprio de T associado ao autovalor lambda=1, ou seja, resolver
(T - I)v = 0

Passo 2

Escrevendo
Subtraindo e dos dois lados de cada equação, surge

Passo 3

Da primeira equação 2y+2z=0 segue
y + z = 0 Longrightarrow y = -z
Substituindo y=-z em x + y - z = 0
x - z - z = 0 Longrightarrow x = 2z
A terceira equação -x + y + 3z = 0 com x=2z e y=-z fica
-2z - z + 3z = 0,
que de fato se anula, confirmando consistência.

Passo 4

Definindo o parâmetro livre z = t, temos
x = 2t, y = -t, z = t,
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v = (x,y,z) = t,(2,-1,1), tinR

Resposta

O vetor (ou espaço de vetores) que satisfaz T(v)=v é
,t,(2,-1,1)mid tinR,
isto é, qualquer múltiplo de (2,-1,1).

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