Seja V=M2(R) e beta=(ll1 & 1 1 & 0),(ll1 & 1 0 & 0),(ll0 & 1 1 & 0),(ll0 & 1 0 & 1) uma base para V.
Se [v]beta=[l0 1 0 1] determine a matriz v.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o espaço V = M2(R) , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais. Foi dada uma base beta para esse espaço, composta por quatro matrizes específicas. O exercício nos fornece as coordenadas de uma matriz v nessa base beta e pede para determinarmos qual é a matriz v . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de combinação linear de vetores (neste caso, matrizes) em uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em termos simples, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores (ou matrizes) que são lineares e que conseguem gerar qualquer elemento do espaço através de combinações lineares. No nosso caso, a base beta é composta por quatro matrizes:
beta = 1 & 1 1 & 0 , 1 & 1 0 & 0 , 0 & 1 1 & 0 , 0 & 1 0 & 1

Passo 3

As coordenadas fornecidas para a matriz v na base beta são:
[v]beta = 0 1 0 1
Isso significa que a matriz v pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes da base beta , onde cada número na coordenada corresponde ao coeficiente dessa combinação.

Passo 4

Vamos escrever a combinação linear usando as coordenadas fornecidas:
v = 0 cdot 1 & 1 1 & 0 + 1 cdot 1 & 1 0 & 0 + 0 cdot 0 & 1 1 & 0 + 1 cdot 0 & 1 0 & 1

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa expressão multiplicando cada matriz pelo seu respectivo coeficiente:
v = 0 cdot 1 & 0 cdot 1 0 cdot 1 & 0 cdot 0 + 1 cdot 1 & 1 cdot 1 1 cdot 0 & 1 cdot 0 + 0 cdot 0 & 0 cdot 1 0 cdot 1 & 0 cdot 0 + 1 cdot 0 & 1 cdot 1 1 cdot 0 & 1 cdot 1
Simplificando cada termo:
v = 0 & 0 0 & 0 + 1 & 1 0 & 0 + 0 & 0 0 & 0 + 0 & 1 0 & 1

Passo 6

Agora, vamos somar todas essas matrizes:
v = 0+1+0+0 & 0+1+0+1 0+0+0+0 & 0+0+0+1 = 1 & 2 0 & 1

Resposta

A matriz v é:
v = 1 & 2 0 & 1

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