Sobre a teoria de espaços vetoriais:
Como podemos verificar se um dado conjunto de vetores é L.I.? Utilize o método que você descreveu para verificar se os vetores do conjunto A=t^2+t+1, t^2+t, t+1,3 t^2+5 t+9 são L.I.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de polinômios
A = ,t^2+t+1,;t^2+t,;t+1,;3t^2+5t+9
é linearmente independente no espaço vetorial P2 (polinômios de grau <=2). Para isso, vamos usar o método de combinar linearmente esses vetores e igualar ao polinômio zero.

Passo 2

Suponha que exista combinação linear
a,(t^2+t+1);+;b,(t^2+t);+;c,(t+1);+;d,(3t^2+5t+9);=;0
para todo t, com coeficientes a,b,c,dinR. Se a única solução for a=b=c=d=0, o conjunto é L.I.; caso contrário, é L.D.

Passo 3

Expandimos e agrupamos termos semelhantes em potências de t:
a,t^2+a,t+a ;+; b,t^2+b,t ;+; c,t+c ;+; 3d,t^2+5d,t+9d ;=;0
Agrupando coeficientes de t^2, de t e do termo constante:
(a + b + 3d),t^2 ;+;(a + b + c + 5d),t ;+;(a + c + 9d);=;0

Passo 4

Para que esse polinômio seja o polinômio zero, cada coeficiente deve ser zero. Logo obtemos o sistema homogêneo:
a + b + 3d = 0, a + b + c + 5d = 0, a + c + 9d = 0

Passo 5

Resolvendo o sistema:
1. Da primeira e segunda equações:
(a+b+c+5d)-(a+b+3d)=c+2d=0implies c=-2d 2. Da terceira equação com c=-2d:
a+(-2d)+9d=a+7d=0implies a=-7d 3. Da primeira equação com a=-7d:
-7d+b+3d=0implies b=4d
Ficamos com
a=-7d, b=4d, c=-2d, d;livre

Passo 6

Como existe solução não trivial (por exemplo d=1 a=-7,b=4,c=-2), conclui-se que a combinação linear nula admite coeficientes não todos zero. Logo o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto A é linearmente dependente.

Exercícios relacionados