Sobre a teoria de espaços vetoriais:
Como podemos verificar se um dado conjunto de vetores é L.I.? Utilize o método que você descreveu para verificar se os vetores do conjunto são L.I.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de polinômios
é linearmente independente no espaço vetorial (polinômios de grau ). Para isso, vamos usar o método de combinar linearmente esses vetores e igualar ao polinômio zero.
Passo 2
Suponha que exista combinação linear
para todo , com coeficientes . Se a única solução for , o conjunto é L.I.; caso contrário, é L.D.
Passo 3
Expandimos e agrupamos termos semelhantes em potências de :
Agrupando coeficientes de , de e do termo constante:
Passo 4
Para que esse polinômio seja o polinômio zero, cada coeficiente deve ser zero. Logo obtemos o sistema homogêneo:
Passo 5
Resolvendo o sistema: 1. Da primeira e segunda equações: (a+b+c+5d)-(a+b+3d)=c+2d=0implies c=-2d 2. Da terceira equação com c=-2d: a+(-2d)+9d=a+7d=0implies a=-7d 3. Da primeira equação com a=-7d: -7d+b+3d=0implies b=4d
Ficamos com
a=-7d, b=4d, c=-2d, d;livre
Passo 6
Como existe solução não trivial (por exemplo d=1 dá a=-7,b=4,c=-2), conclui-se que a combinação linear nula admite coeficientes não todos zero. Logo o conjunto é linearmente dependente.