Resolva os sistemas abaixo pela eliminação de Gauss-Jordan.
r l x + 3 y + z & = 1 0 - N y + z & = 0 - 3 x + 2 y + 7 z & = 0 b) rl x1-2 x2+3 x3+2 x4 & =-N x2-2 x3+x4 & =2 x1+x2-3 x3+5 x4 & =6-N

Passo 1

Neste exercício vamos resolver dois sistemas lineares que dependem do parâmetro N usando eliminação de Gauss–Jordan. Precisamos montar a matriz aumentada de cada sistema, aplicar operações elementares de linha até obter a forma reduzida (RREF) e então ler as soluções, identificando quando há solução única ou infinitas.

Passo 2

Para o sistema (a) montamos a matriz aumentada
Aplicamos as operações:
  1. , zerando o em (3,1) e obtendo .
  2. Com o pivô em , fazemos e , resultando em e .
  3. Normalizamos via e eliminamos acima: , .
    Ao final chegamos à forma reduzida

Passo 3

Da forma reduzida segue que o sistema (a) tem solução única:
x = -50 + 5N, y = 30 - 3N, z = -30 + 3N

Passo 4

Para o sistema (b) montamos a matriz aumentada
Aplicamos:
  1. , para zerar (3,1), ficando .
  2. Com o pivô em , fazemos e , resultando em e .
    A forma reduzida final é

Passo 5

Há duas linhas de pivô e duas colunas livres ( x3,x4), logo o sistema (b) tem infinitas soluções. Tomando x3 = s e x4 = t, obtemos
x1 = 4 - N + s - 4t, x2 = 2 + 2s - t, x3 = s, x4 = t,
com s,tinR.

Resposta

(a)
x = -50 + 5N, y = 30 - 3N, z = -30 + 3N
(b)
(x1,x2,x3,x4) = l(4 - N + s - 4t,;2 + 2s - t,;s,;tr), s,tinR

Exercícios relacionados