Determine uma matriz unitária P que diagonaliza a matriz herminiana A e determine P^-1 A P para
A=[cc 6 & 2+2 i 2-2 i & 4 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma matriz unitária P que diagonaliza a matriz hermitiana A e também determinar P^-1 A P . A matriz dada é:
A = 6 & 2+2i 2-2i & 4
Para fazer isso, vamos usar conceitos de matrizes hermitianas, matrizes unitárias, autovalores e autovetores. Vamos precisar encontrar os autovalores de A , depois os autovetores correspondentes, e por fim, construir a matriz unitária P .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A . Lembra que os autovalores são soluções da equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I :
A - lambda I = 6 - lambda & 2 + 2i 2 - 2i & 4 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (6 - lambda)(4 - lambda) - (2 + 2i)(2 - 2i)

Passo 4

Vamos simplificar o determinante:
Primeiro, calcule (6 - lambda)(4 - lambda) :
(6 - lambda)(4 - lambda) = 24 - 6lambda - 4lambda + lambda^2 = lambda^2 - 10lambda + 24
Agora, multiplique (2 + 2i)(2 - 2i) :
(2 + 2i)(2 - 2i) = 4 - (2i)^2 = 4 - (-4) = 8
Então, o determinante fica:
lambda^2 - 10lambda + 24 - 8 = lambda^2 - 10lambda + 16

Passo 5

Agora, resolvemos a equação característica:
lambda^2 - 10lambda + 16 = 0
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
lambda = 10 pm raiz(-10)^2 - 4 cdot 1 cdot 162 cdot 1 = 10 pm raiz100 - 642 = 10 pm raiz362 = 10 pm 62
Então, os autovalores são:
lambda1 = 10 + 62 = 8 e lambda2 = 10 - 62 = 2

Passo 6

Agora que temos os autovalores lambda1 = 8 e lambda2 = 2 , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles.
Vamos começar com lambda1 = 8 . Precisamos resolver (A - 8I)v = 0 :
A - 8I = 6 - 8 & 2 + 2i 2 - 2i & 4 - 8 = -2 & 2 + 2i 2 - 2i & -4
Isso nos dá o sistema de equações:
-2v1 + (2 + 2i)v2 = 0 (2 - 2i)v1 - 4v2 = 0

Passo 7

Vamos resolver a primeira equação para encontrar a relação entre v1 e v2 :
-2v1 + (2 + 2i)v2 = 0 implies v1 = (2 + 2i)2 v2 = (1 + i)v2
Podemos escolher v2 = 1 para simplificar, então o autovetor correspondente a lambda1 = 8 é:
v^(1) = 1 + i 1

Passo 8

Agora, vamos normalizar o autovetor v^(1) para torná-lo um vetor unitário (necessário para a matriz unitária P ).
A norma de v^(1) é:
|v^(1)| = raiz(1 + i)(1 - i) + 1 cdot 1 = raiz(1 + 1) + 1 = raiz3
Então, o vetor unitário é:
u^(1) = v^(1)|v^(1)| = 1raiz3 1 + i 1

Passo 9

Agora, vamos encontrar o autovetor correspondente a lambda2 = 2 . Resolva (A - 2I)v = 0 :
A - 2I = 6 - 2 & 2 + 2i 2 - 2i & 4 - 2 = 4 & 2 + 2i 2 - 2i & 2
Isso resulta no sistema:
4v1 + (2 + 2i)v2 = 0 (2 - 2i)v1 + 2v2 = 0

Passo 10

Resolvendo a primeira equação para encontrar a relação entre v1 e v2 :
4v1 + (2 + 2i)v2 = 0 implies v1 = -(2 + 2i)4 v2 = -1 + i2 v2
Escolhendo v2 = 1 , obtemos o autovetor:
v^(2) = -1 + i2 1

Passo 11

Vamos normalizar o autovetor v^(2) :
Primeiro, multiplicamos o numerador para simplificar:
v^(2) = - 12 - i2 1
A norma é:
|v^(2)| = raiz(-12)^2 + (-i2)(i2) + 1^2 = raiz14 + 14 + 1 = raiz24 + 1 = raiz12 + 1 = raiz32 = raiz62
Então, o vetor unitário é:
u^(2) = v^(2)|v^(2)| = 2raiz6 - 12 - i2 1 = 1raiz6 -1 - i 2

Passo 12

Agora que temos os vetores unitários u^(1) e u^(2) , podemos montar a matriz unitária P colocando-os como colunas:
P = 1 + iraiz3 & -1 - iraiz6 1raiz3 & 2raiz6

Passo 13

Finalmente, para encontrar P^-1 A P , lembramos que para matrizes unitárias, P^-1 = P^dag>=r (onde P^dag>=r é a matriz adjunta de P ). Então:
P^-1 A P = P^dag>=r A P
Como P diagonaliza A , o resultado será uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
P^-1 A P = 8 & 0 0 & 2

Resposta

A matriz unitária que diagonaliza A é
P = 1 + iraiz3 & -1 - iraiz6 1raiz3 & 2raiz6
e a matriz diagonal resultante é
P^-1 A P = 8 & 0 0 & 2

Exercícios relacionados