Consideremos o operador linear T: V V, dado em cada item abaixo:
T(x, y, z)=(4 x, 5 y-z,-y+5 z);
Em cada caso, determine:
uma base B de V, tal que [T]B esteja na forma canônica de Jordan;

Passo 1

O enunciado pede uma base de V em que a matriz de
T(x,y,z) = (4x,;5y - z,;-,y + 5z)
esteja na forma canónica de Jordan. Para isso precisamos encontrar os valores próprios de T, sua multiplicidade algébrica e geométrica, e construir um sistema de autovetores que diagonalize (ou, no caso geral, coloque em blocos de Jordan) a matriz de T.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T na base canónica e1,e2,e3 de R^3:
[T] = 4 & 0 & 0 0 & 5 & -1 0 & -1 & 5
O polinómio característico é
det([T] - lambda I) = (4-lambda)det5-lambda & -1-1 & 5-lambda = (4-lambda)l((5-lambda)^2-1r)
Como (5-lambda)^2-1 = lambda^2-10lambda+24 = (lambda-6)(lambda-4), segue
chiT(lambda) = (4-lambda)^2(,6-lambda,)

Passo 3

Os valores próprios são (mult. alg. ) e (mult. alg. ).
. Para resolvemos
Um autovetor é, por exemplo, .
. Para há dois casos:
a) No primeiro componente: , logo .
b) No plano :
um autovetor adicional é .
Verifica-se que são linearmente independentes, dando dimensão geométrica para .

Passo 4

Como a soma das dimensões geométricas iguala 3, T é diagonalizável e a forma de Jordan é diagonal. Tomando a base
B = l,v1=(1,0,0),;v2=(0,1,1),;v3=(0,-1,1)r,
a matriz de T em B é
[T] B = 4 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & 6 ,
que é exatamente a forma canónica de Jordan (neste caso, diagonal).

Resposta

A base em que [T] fica em forma canónica de Jordan é
B = l(1,0,0),,(0,1,1),,(0,-1,1)r,
e a matriz de T nessa base é
4 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & 6

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