Verifique se as matrizes A e B são semelhantes, em cada caso abaixo:
A=[T1]C e B=[T2]C, sendo C a base canônica de R^4, T1 e T2 definidos por
T1(x, y, z, w)=(3 x, 3 y, 2 z, 2 w)
e
T2(x, y, z, w)=(3 x-y+z-7 w, 9 x-3 y-7 z-w, 4 z-8 w, 2 z-4 w)

Passo 1

O enunciado nos dá duas transformações lineares em R^4,
T1(x,y,z,w)=(3x,3y,2z,2w), T2(x,y,z,w)=(3x-y+z-7w,;9x-3y-7z-w,;4z-8w,;2z-4w),
e pede para verificar se as matrizes A=[T1]C e B=[T2]C (na base canônica C) são semelhantes.
Conteúdo: teoria de similaridade de matrizes — em particular, duas matrizes reais são semelhantes se e somente se têm o mesmo polinômio mínimo (ou, equivalentemente, o mesmo polinômio característico com as mesmas estruturas de Jordan, i.e., mesmos autovalores com mesmas multiplicidades algébrica e geométrica).

Passo 2

Vamos escrever explicitamente A e B na base canônica.
Como T1 simplesmente multiplica as duas primeiras coordenadas por 3 e as duas últimas por 2,
A= 3&0&0&0 0&3&0&0 0&0&2&0 0&0&0&2

Passo 3

Da forma diagonal de A já vemos que seus autovalores são
3, com mu<iplicidade algébrica 2, 2, com mu<iplicidade algébrica 2 éé

Passo 4

Agora, escrevemos B a partir de T2. Observando as imagens de (x,y,z,w), obtemos
B= 3 & -1 & 1 & -7 9 & -3 & -7 & -1 0 & 0 & 4 & -8 0 & 0 & 2 & -4
Esse B é bloco-triangular por linhas 3 e 4 não dependerem de x,y, de modo que
chiB(lambda) =det!l(3&-19&-3-lambda Ir) ;cdot; det!l(4&-82&-4-lambda Ir)
Para o bloco 3&-19&-3 temos
det!l(3&-19&-3-lambda Ir) =(3-lambda)(-3-lambda)-(-1)cdot9 =lambda^2
Para o bloco 4&-82&-4 análogo cálculo dá também lambda^2.
Logo
chiB(lambda)=lambda^2cdotlambda^2=lambda^4
Isto mostra que B tem autovalor 0 de multiplicidade algébrica 4 (e na verdade B^2=0, é nilpotente de índice 2).

Passo 5

Comparando:
A tem autovalores 3 (mult. 2) e 2 (mult. 2).
B tem único autovalor 0 (mult. 4).
Quando duas matrizes são semelhantes, elas devem ter exatamente o mesmo polinômio característico (e mesma decomposição de Jordan). Aqui os polinômios característicos são diferentes, logo não há semelhança entre A e B.

Resposta

As matrizes A e B não são semelhantes.

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