Verifique se as matrizes e são semelhantes, em cada caso abaixo: e , sendo a base canônica de e definidos por
e
Passo 1
O enunciado nos dá duas transformações lineares em ,
e pede para verificar se as matrizes e (na base canônica ) são semelhantes.
Conteúdo: teoria de similaridade de matrizes — em particular, duas matrizes reais são semelhantes se e somente se têm o mesmo polinômio mínimo (ou, equivalentemente, o mesmo polinômio característico com as mesmas estruturas de Jordan, i.e., mesmos autovalores com mesmas multiplicidades algébrica e geométrica).
Passo 2
Vamos escrever explicitamente e na base canônica.
Como simplesmente multiplica as duas primeiras coordenadas por 3 e as duas últimas por 2,
Passo 3
Da forma diagonal de A já vemos que seus autovalores são
3, com mu<iplicidade algébrica 2, 2, com mu<iplicidade algébrica 2 éé
Passo 4
Agora, escrevemos B a partir de T2. Observando as imagens de (x,y,z,w), obtemos
Para o bloco 4&-82&-4 análogo cálculo dá também lambda^2.
Logo
chiB(lambda)=lambda^2cdotlambda^2=lambda^4
Isto mostra que B tem autovalor 0 de multiplicidade algébrica 4 (e na verdade B^2=0, é nilpotente de índice 2).
Passo 5
Comparando:
— A tem autovalores 3 (mult. 2) e 2 (mult. 2).
— B tem único autovalor 0 (mult. 4).
Quando duas matrizes são semelhantes, elas devem ter exatamente o mesmo polinômio característico (e mesma decomposição de Jordan). Aqui os polinômios característicos são diferentes, logo não há semelhança entre A e B.