Mostrar que se p é um ímpar e a^2+2 b^2=2 p, então " a "é par e " b "é ímpar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de teoria dos números, especificamente sobre paridade (ou seja, se os números são pares ou ímpares). O enunciado diz que se p é ímpar e satisfaz a equação a^2 + 2b^2 = 2p , então precisamos provar que a é par e b é ímpar. Para resolver isso, vamos analisar as possíveis paridades de a e b e ver quais se encaixam na equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um número ser par ou ímpar. Um número é par se ele é divisível por 2, ou seja, pode ser escrito como 2k , onde k é um inteiro. Um número é ímpar se é da forma 2k + 1 .

Passo 3

Agora, vamos assumir que a é par. Então podemos escrever a = 2k , onde k é um inteiro. Substituindo na equação original:
a^2 + 2b^2 = 2p (2k)^2 + 2b^2 = 2p 4k^2 + 2b^2 = 2p

Passo 4

Dividindo toda a equação por 2 para simplificar:
2k^2 + b^2 = p
Sabemos que p é ímpar. Agora, vamos analisar b^2 . Se b for par, então b = 2m , e b^2 = 4m^2 , que também é par. Assim, 2k^2 seria par e b^2 seria par, somando dois números pares resultararia em um número par. Mas p é ímpar, então isso não é possível.

Passo 5

Portanto, a única possibilidade é b ser ímpar. Se b é ímpar, então b = 2m + 1 , e b^2 = (2m + 1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 , que é ímpar. Então, 2k^2 é par e b^2 é ímpar, e a soma deles:
par + ímpar = ímpar íí
Isso satisfaz a condição de p ser ímpar.

Resposta

Portanto, mostramos que a deve ser par e b deve ser ímpar.

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