Consideremos uma partícula sobre a qual age uma força de mesma direção e sentido que sua velocidade. (
) Usando a relação relativística
para uma única partícula, mostre que
em que
representa um deslocamento infinitesimal.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma partícula que está se movendo com uma certa velocidade, e sobre ela age uma força que está na mesma direção e sentido dessa velocidade. O conteúdo principal aqui é a relatividade restrita, especialmente a relação entre força e momento relativístico. Para resolver isso, vamos usar a fórmula relativística
, onde
é a massa relativística da partícula e
é sua velocidade. Nosso objetivo é mostrar que:
Aqui,
representa um deslocamento infinitesimal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que nos foi dada:
. Isso significa que a força
é igual à taxa de variação do momento relativístico
em relação ao tempo
.
Para expandir essa derivada, precisamos aplicar a regra do produto da diferenciação, que nos permite derivar o produto de duas funções. No nosso caso, temos
(massa) e
(velocidade) como as duas funções.
Então, aplicando a regra do produto:
Aqui,
é a aceleração
, e
é a taxa de variação da massa.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por um deslocamento infinitesimal
:
Sabemos que
, pois deslocamento é velocidade vezes tempo. Substituindo isso na equação:
Simplificando os termos,
cancela:
Resposta
Assim, mostramos que: