Consideremos uma partícula sobre a qual age uma força de mesma direção e sentido que sua velocidade. ( a ) Usando a relação relativística F=d(m v) / d t para uma única partícula, mostre que
F d s=m v d v+v^2 d m
em que d s representa um deslocamento infinitesimal.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma partícula que está se movendo com uma certa velocidade, e sobre ela age uma força que está na mesma direção e sentido dessa velocidade. O conteúdo principal aqui é a relatividade restrita, especialmente a relação entre força e momento relativístico. Para resolver isso, vamos usar a fórmula relativística F d s = m v d v + v^2 d m , onde é a massa relativística da partícula e é sua velocidade. Nosso objetivo é mostrar que:
Aqui, representa um deslocamento infinitesimal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que nos foi dada: F = d(m v)dt = m dvdt + v dmdt . Isso significa que a força é igual à taxa de variação do momento relativístico em relação ao tempo .
Para expandir essa derivada, precisamos aplicar a regra do produto da diferenciação, que nos permite derivar o produto de duas funções. No nosso caso, temos (massa) e (velocidade) como as duas funções.
Então, aplicando a regra do produto:
Aqui, é a aceleração , e é a taxa de variação da massa.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por um deslocamento infinitesimal F d s = m dvdt d s + v dmdt d s :
F d s = m dvdt (v dt) + v dmdt (v dt)
Sabemos que F d s = m v dv + v^2 dm , pois deslocamento é velocidade vezes tempo. Substituindo isso na equação:
Simplificando os termos, cancela:

Resposta

Assim, mostramos que:
F d s = m v d v + v^2 d m

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