Suponha que a taxa de queima do combustível de um foguete seja dada por:
, onde
é uma constante cuja dimensão é de tempo
. A massa inicial do combustível é
. (a) Determine a massa
em função do tempo
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre a taxa de queima de combustível de um foguete. A equação que descreve isso é $ \frac{dm}{dt} = -b m_0 $, onde $ b $ é uma constante com dimensão de tempo inverso ($ \mathbf{T}^{-1} $) e $ m_0 $ é a massa inicial do combustível. O que a gente precisa descobrir é como a massa $ m $ do combustível varia ao longo do tempo $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação $ \frac{dm}{dt} = -b m_0 $ significa. Aqui, $ \frac{dm}{dt} $ representa a taxa de variação da massa do combustível em relação ao tempo. O sinal negativo indica que a massa está diminuindo. A constante $ b $ nos dá uma ideia de quão rápido isso está acontecendo.
Passo 3
Para encontrar a função $ m(t) $, precisamos resolver essa equação diferencial. Como $ b $ e $ m_0 $ são constantes, a equação fica mais simples. Podemos reescrever:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar $ m(t) $. A integração de $ \frac{dm}{dt} $ em relação ao tempo $ t $ nos dá:
O lado esquerdo da equação simplifica para $ m(t) $, já que a integral da derivada de $ m $ é $ m $ mesmo.
Passo 5
A constante $ C $ é a constante de integração. Para encontrar $ C $, usamos a condição inicial que provavelmente é $ m(0) = m_0 $ (isto é, no tempo $ t = 0 $, a massa é $ m_0 $).
Substituindo $ t = 0 $ na equação:
Passo 6
Agora que encontramos $ C = m_0 $, substituímos de volta na equação geral:
Podemos fatorar $ m_0 $ para simplificar:
Resposta
A massa do combustível em função do tempo é $ m(t) = m_0 (1 - b t) $.