Suponha que a taxa de queima do combustível de um foguete seja dada por: d m / d t= =-b m0, onde b é uma constante cuja dimensão é de tempo ^-1(T^-1). A massa inicial do combustível é m0. (a) Determine a massa m em função do tempo t.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre a taxa de queima de combustível de um foguete. A equação que descreve isso é $ \frac{dm}{dt} = -b m_0 $, onde $ b $ é uma constante com dimensão de tempo inverso ($ \mathbf{T}^{-1} $) e $ m_0 $ é a massa inicial do combustível. O que a gente precisa descobrir é como a massa $ m $ do combustível varia ao longo do tempo $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação $ \frac{dm}{dt} = -b m_0 $ significa. Aqui, $ \frac{dm}{dt} $ representa a taxa de variação da massa do combustível em relação ao tempo. O sinal negativo indica que a massa está diminuindo. A constante $ b $ nos dá uma ideia de quão rápido isso está acontecendo.

Passo 3

Para encontrar a função $ m(t) $, precisamos resolver essa equação diferencial. Como $ b $ e $ m_0 $ são constantes, a equação fica mais simples. Podemos reescrever:
m(t)

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar $ m(t) $. A integração de $ \frac{dm}{dt} $ em relação ao tempo $ t $ nos dá:
m(t)
O lado esquerdo da equação simplifica para $ m(t) $, já que a integral da derivada de $ m $ é $ m $ mesmo.
dmdt

Passo 5

A constante $ C $ é a constante de integração. Para encontrar $ C $, usamos a condição inicial que provavelmente é $ m(0) = m_0 $ (isto é, no tempo $ t = 0 $, a massa é $ m_0 $).
Substituindo $ t = 0 $ na equação:
C

Passo 6

Agora que encontramos $ C = m_0 $, substituímos de volta na equação geral:
C = m0
Podemos fatorar $ m_0 $ para simplificar:
m(t) = -b m0 t + m0

Resposta

A massa do combustível em função do tempo é $ m(t) = m_0 (1 - b t) $.

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