(b) Usando a relação relativística v^2=(1-m0^2 / m^2) c^2, mostre que
m v d v=m0^2 c^2m^2 d m

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Relatividade Especial que envolve uma relação entre a velocidade $ v $ e a massa relativística $ m $. O enunciado nos dá a equação:
v
E pede para mostrar que:
m
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, mais especificamente derivadas. Vamos diferenciar a equação dada em relação a alguma variável para chegar na relação pedida.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação:
v^2 = (1 - m0^2m^2) c^2
Aqui, $ m_{0} $ é a massa de repouso e $ c $ é a velocidade da luz, ambos constantes.

Passo 3

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação ao tempo $ t $. Lembre-se que $ v $ é a velocidade, que é a derivada da posição em relação ao tempo, e $ m $ pode depender do tempo também.
Diferenciando o lado esquerdo:
t

Passo 4

Agora, diferenciamos o lado direito:
ddt((1 - m0^2m^2) c^2) = c^2 cdot ddt(1 - m0^2m^2)
Como $ 1 $ e $ c^{2} $ são constantes, a derivada fica apenas sobre $ -\frac{m_{0}{2}}{m{2}} $.

Passo 5

Continuando a diferenciação:
c^2 cdot ddt(-m0^2m^2) = c^2 cdot ( 2 m0^2m^3 dmdt )
Isso porque a derivada de $ m^{-2} $ em relação a $ m $ é $ -2m^{-3} $, e aplicamos a regra da cadeia.

Passo 6

Agora, igualamos as duas derivadas que obtivemos:
2v dvdt = c^2 cdot ( 2 m0^2m^3 dmdt )
Podemos simplificar ambos os lados dividindo por 2:
v dvdt = m0^2 c^2m^3 dmdt

Passo 7

Agora, vamos rearranjar a equação para chegar na forma pedida. Multiplicamos ambos os lados por $ m^{3} $:
m^3
Mas, para simplificar ainda mais, consideramos que $ m^{3} $ pode ser dividido por $ m^{2} $, resultando em:
m^3 v dvdt = m0^2 c^2 dmdt

Resposta

Então, mostramos que:
m v , dv = m0^2 c^2m^2 , dm

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