(b) Usando a relação relativística
, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Relatividade Especial que envolve uma relação entre a velocidade $ v $ e a massa relativística $ m $. O enunciado nos dá a equação:
E pede para mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, mais especificamente derivadas. Vamos diferenciar a equação dada em relação a alguma variável para chegar na relação pedida.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação:
Aqui, $ m_{0} $ é a massa de repouso e $ c $ é a velocidade da luz, ambos constantes.
Passo 3
Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação ao tempo $ t $. Lembre-se que $ v $ é a velocidade, que é a derivada da posição em relação ao tempo, e $ m $ pode depender do tempo também.
Diferenciando o lado esquerdo:
Passo 4
Agora, diferenciamos o lado direito:
Como $ 1 $ e $ c^{2} $ são constantes, a derivada fica apenas sobre $ -\frac{m_{0}{2}}{m{2}} $.
Passo 5
Continuando a diferenciação:
Isso porque a derivada de $ m^{-2} $ em relação a $ m $ é $ -2m^{-3} $, e aplicamos a regra da cadeia.
Passo 6
Agora, igualamos as duas derivadas que obtivemos:
Podemos simplificar ambos os lados dividindo por 2:
Passo 7
Agora, vamos rearranjar a equação para chegar na forma pedida. Multiplicamos ambos os lados por $ m^{3} $:
Mas, para simplificar ainda mais, consideramos que $ m^{3} $ pode ser dividido por $ m^{2} $, resultando em:
Resposta
Então, mostramos que: