Consideremos os pontos A=(-1,4,-1), B=(-5,6,0) e C=(-9,0,1). Calcule o volume do tetraedro de vértices A, B, C e D, sabendo que o vértice D pertence ao eixo y.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(-1,4,-1), B=(-5,6,0), C=(-9,0,1) e diz que D está no eixo y, ou seja,
D=(0,t,0)
para algum tinR. Pede o volume do tetraedro ABCD.
Conteúdo: volume de um tetraedro via produto misto (determinante 3times 3) e divisão por 6.

Passo 2

Escolhemos os vetores DA, DB e DC. Como D=(0,t,0),
DA=A-D =(-1,;4-t,;-1),
DB=B-D =(-5,;6-t,;0),
DC=C-D =(-9,;-t,;1)

Passo 3

O volume V do tetraedro é
V = 16l|detl[DA,,DB,,DCr]r|
Montamos o determinante 3times 3:
det -1 & 4-t & -1 -5 & 6-t & 0 -9 & -t & 1

Passo 4

Calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
De<a &= -1cdotdet6-t&0-t&1 -(4-t)cdotdet-5&0-9&1 +(-1)cdotdet-5&6-t-9&-t &= -1l((6-t)cdot1 - 0cdot(-t)r) -(4-t)l((-5)cdot1 -0cdot(-9)r) & -l((-5)(-t)-(6-t)(-9)r) &= -(6-t) - (4-t)(-5) - l(5t +9(6-t)r) &= t-6 +20-5t -l(5t+54-9tr) &= t-6+20-5t -l(54-4tr) &= -40
Note que De<a=-40 independe de t.

Passo 5

Portanto
V = 16l|,-40,r| = 406 = 203

Resposta

tfrac203

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