Consideremos os vetores u=(1,1,0) e v=(1,0,-1). Determine as coordenadas dos vetores w tais que w * u=1, w * v=-1 e |w|=|u times v|.

Passo 1

O enunciado dá os vetores vec u=(1,1,0) e vec v=(1,0,-1) e pede todos os vec w tais que
vec wcdotvec u=1, vec wcdotvec v=-1 e lvertvec wrvert=lvertvec utimesvec vrvert.
O conteúdo envolve produto escalar, produto vetorial, norma de vetor e solução de sistema de equações.

Passo 2

Calculemos o produto vetorial
vec u times vec v = l(u2v3 - u3v2,;u3v1 - u1v3,;u1v2 - u2v1r) = (-1,;1,;-1)

Passo 3

A norma de vec utimesvec v é
llvertvec utimesvec vrrvert =raiz(-1)^2+1^2+(-1)^2 =raiz3
Logo exigimos lvertvec wrvert=raiz3.

Passo 4

Seja vec w=(x,y,z). As condições de produto escalar dão
vec wcdotvec u = x+y+0cdot z = 1 Longrightarrow x+y=1,
vec wcdotvec v = x+0cdot y - z = -1 Longrightarrow x-z=-1

Passo 5

Daí expressamos
y = 1 - x, z = x + 1

Passo 6

Impondo lvertvec wrvert^2=3 temos
x^2 + y^2 + z^2 = 3 ;;Longrightarrow;; x^2 + (1-x)^2 + (x+1)^2 =3 ;;Longrightarrow;; 3x^2 +2 =3 ;;Longrightarrow;; x^2 = tfrac13

Passo 7

Assim x=pmtfrac1raiz3. Substituindo em y e z obtemos os dois vetores solução:
vec w1 = l(tfrac1raiz3,,1-tfrac1raiz3,,1+tfrac1raiz3r),
vec w2 = l(-tfrac1raiz3,,1+tfrac1raiz3,,1-tfrac1raiz3r)

Resposta

vec w = l(tfrac1raiz3,,1-tfrac1raiz3,,1+tfrac1raiz3r) ou vec w = l(-tfrac1raiz3,,1+tfrac1raiz3,,1-tfrac1raiz3r)

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