Dados os pontos A=(7,0,4) e B=(4,-1,2), determine as coordenadas dos pontos C tais que o vetor AC seja paralelo ao vetor (1,0,-1) e que a área do triângulo de vértices A, B e C seja 3 raiz3.

Passo 1

Resumindo, temos os pontos A=(7,0,4) e B=(4,-1,2). Queremos os pontos C tais que AC seja paralelo a (1,0,-1) e que a área do triângulo ABC valha 3raiz3. Vamos usar produto vetorial para relacionar área e vetores.

Passo 2

Se AC é paralelo a (1,0,-1), existe tin R com
AC = t,(1,0,-1)
Assim as coordenadas de C são
C = A + t,(1,0,-1) = (7+t,;0,;4-t)

Passo 3

Calculemos AB = B - A:
AB = (4,-1,2) - (7,0,4) = (-3,-1,-2)

Passo 4

O produto vetorial com o vetor diretor (1,0,-1) é
AB times (1,0,-1) = i & j & k -3 & -1 & -2 1 & 0 & -1 = (1,,-5,,1)
A magnitude deste vetor é
l|(1,-5,1)r| = raiz1 + 25 + 1 = 3raiz3

Passo 5

A área do triângulo ABC é
12,l|ABtimesACr| = 12,l|t,l(ABtimes(1,0,-1)r)r| = 12,|t|,3raiz3
Impondo tfrac12,|t|,3raiz3 = 3raiz3 |t|=2.

Passo 6

Logo t=2 ou t=-2. Substituindo em C=(7+t,0,4-t) obtemos
C1 = (7+2,0,4-2) = (9,0,2), C2 = (7-2,0,4+2) = (5,0,6)

Resposta

Os pontos C são (9,0,2) e (5,0,6).

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