Consideremos com o produto interno canônico. Das aplicações dadas abaixo, quais são ortogonais? Quais são rotações? .
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
no espaço com produto interno canônico. O que precisamos fazer é: . Verificar se é ortogonal (i.e. preservar produto interno). . Calcular e, se for , concluir que é uma rotação propriamente dita.
Passo 2
Para checar ortogonalidade, escrevemos a matriz de na base canônica . Como
Como det T=+1, T é uma transformação ortogonal de caráter próprio, ou seja, uma rotação em R^3. Para interpretá-la geometricamente, notamos que T deixa fixo todo vetor da forma (x,0,0), logo o eixo de rotação é o eixo x. E como inverte os componentes y e z, o ângulo dessa rotação é pi (180º) em torno do eixo x.
Resposta
T é uma aplicação ortogonal e, de fato, uma rotação de 180^circ em torno do eixo x.