Consideremos R^3 com o produto interno canônico. Das aplicações dadas abaixo, quais são ortogonais? Quais são rotações?
T(x, y, z)=(x,-y,-z).

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (x,-y,-z),
no espaço com produto interno canônico. O que precisamos fazer é:
1. Verificar se T é ortogonal (i.e. preservar produto interno).
2. Calcular det T e, se for +1, concluir que é uma rotação propriamente dita.

Passo 2

Para checar ortogonalidade, escrevemos a matriz de T na base canônica e1,e2,e3. Como
T(e1)=(1,0,0), T(e2)=(0,-1,0), T(e3)=(0,0,-1),
a matriz é
A = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1
Para ser ortogonal, precisamos de
A^T A = I

Passo 3

Calculamos
A^T A = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = I
Logo, T é ortogonal.

Passo 4

Agora calculamos o determinante de A:
det A = (1)cdot(-1)cdot(-1) = 1
Como det T=+1, T é uma transformação ortogonal de caráter próprio, ou seja, uma rotação em R^3. Para interpretá-la geometricamente, notamos que T deixa fixo todo vetor da forma (x,0,0), logo o eixo de rotação é o eixo x. E como inverte os componentes y e z, o ângulo dessa rotação é pi ( 180º) em torno do eixo x.

Resposta

T é uma aplicação ortogonal e, de fato, uma rotação de 180^circ em torno do eixo x.

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