Consideremos
com o produto interno canônico. Das aplicações dadas abaixo, quais são ortogonais? Quais são rotações?
.
Passo 1
Temos uma aplicação linear
Queremos ver se
é ortogonal (isto é, preserva produto interno) e, em caso afirmativo, se é orientação-preservada (rotação), o que daria
.
Passo 2
Em coordenadas canônicas, a matriz de
é
Uma forma rápida de testar ortogonalidade é checar se as colunas de
A são ortonormais, ou seja
As colunas são
Por exemplo,
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A^TAneq I ,
T não preserva norma nem produto interno.