Consideremos R^3 com o produto interno canônico. Das aplicações dadas abaixo, quais são ortogonais? Quais são rotações?
T(x, y, z)=17(2 x+3 y+5 z, 5 x+2 y-3 z,-3 x+5 y+2 z).

Passo 1

Temos uma aplicação linear
TcolonR^3toR^3, T(x,y,z)=17l(2x+3y+5z,;5x+2y-3z,;-3x+5y+2zr)
Queremos ver se T é ortogonal (isto é, preserva produto interno) e, em caso afirmativo, se é orientação-preservada (rotação), o que daria det T=1.

Passo 2

Em coordenadas canônicas, a matriz de T é
A=17 2 & 3 & 5 5 & 2 & -3 -3& 5 & 2
Uma forma rápida de testar ortogonalidade é checar se as colunas de A são ortonormais, ou seja
lang<= ci,cjrang<==de<aij
As colunas são
c1=tfrac17(2,5,-3), c2=tfrac17(3,2,5), c3=tfrac17(5,-3,2)
Por exemplo,
lang<= c1,c1rang<= =149(2^2+5^2+(-3)^2) =3849neq1
Logo A^TAneq I, T não preserva norma nem produto interno.

Resposta

T não é ortogonal e, portanto, também não é rotação.

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