Consideremos R^3 com o produto interno canônico. Das aplicações dadas abaixo, quais são ortogonais? Quais são rotações?
T(x, y, z)=19(x+8 y+4 z, 4 x-4 y+7 z, 8 x+y-4 z).

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
T(x,y,z) = 19l(x + 8y + 4z,;4x - 4y + 7z,;8x + y - 4zr)
em R^3 com o produto interno canônico. Precisamos verificar duas coisas:
1. Se T é ortogonal, ou seja, a matriz associada A satisfaz A^T A = I.
2. Se T é uma rotação, ou seja, além de ser ortogonal, tem det A = +1.

Passo 2

Escrevemos a matriz A de T em relação à base canônica:
A = 19 1 & 8 & 4 4 & -4 & 7 8 & 1 & -4
Sejam as colunas de M=1&8&44&-4&78&1&-4 denotadas por
c1=(1,4,8), c2=(8,-4,1) e c3=(4,7,-4).

Passo 3

Calculamos os produtos internos das colunas:
lang<= c1,c1rang<= = 1^2+4^2+8^2 =81, lang<= c2,c2rang<= =8^2+(-4)^2+1^2=81,
lang<= c3,c3rang<= =4^2+7^2+(-4)^2=81,
lang<= c1,c2rang<= =1cdot8 +4cdot(-4)+8cdot1=0, lang<= c1,c3rang<= =1cdot4+4cdot7+8cdot(-4)=0,
lang<= c2,c3rang<= =8cdot4 +(-4)cdot7 +1cdot(-4)=0
Como todas as colunas têm norma raiz81=9 e são mutuamente ortogonais, temos
A^T A = 19^2M^T M = I
Logo, T é uma aplicação ortogonal.

Passo 4

Para saber se é rotação, calculamos det A. Primeiro det M:
det M =1cdotdet-4&71&-4 -8cdotdet4&78&-4 +4cdotdet4&-48&1
Isso dá
1,(16-7);-;8,(-16-56);+;4,(4+32) =9 +576 +144 =729
Então
det A = 19^3det M = 729729 = 1
Como det A=+1, T preserva orientação e é, portanto, uma rotação.

Resposta

T é ortogonal e, como det A=1, trata-se também de uma rotação.

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