Faça o que se pede a seguir para cada rotação T do exercício anterior:
Encontre as matrizes M e M^-1 tal que [T]B=M^-1[T]C M, onde C é a base canônica do R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar duas matrizes, M e M^-1 , que estão relacionadas a uma rotação T no espaço tridimensional. A matéria envolvida aqui é a mudança de base na Álgebra Linear, especificamente aplicando isso a rotações. Para resolver isso, precisamos entender como converter a representação de uma transformação linear de uma base canônica para outra base qualquer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são bases. Em R^3, a base canônica C é formada pelos vetores e1 = (1,0,0) , e2 = (0,1,0) e e3 = (0,0,1) . Já B é outra base qualquer que a gente vai usar.
Quando temos uma transformação linear, como uma rotação T , ela pode ser representada por matrizes diferentes dependendo da base que estamos usando. Nosso objetivo é relacionar essas duas representações.

Passo 3

A relação entre as matrizes que representam a mesma transformação em diferentes bases é dada pela seguinte equação:
[T]B = M^-1 [T]C M
Aqui, [T]C é a matriz que representa T na base canônica, [T]B é a matriz na base B , e M é a matriz de mudança de base de C para B .

Passo 4

Para encontrar M , precisamos saber como a base B está relacionada à base canônica C . Supondo que os vetores da base B sejam b1, b2, b3 , a matriz M é construída colocando esses vetores como colunas:
M = | & | & | b1 & b2 & b3 | & | & |
A matriz M^-1 é simplesmente a inversa de M .

Passo 5

Com M e M^-1 em mãos, a equação [T]B = M^-1 [T]C M nos permite converter a matriz da rotação T da base canônica para a base B . Isso é útil porque, dependendo da aplicação, uma base pode simplificar mais os cálculos ou dar mais insights sobre a transformação.

Resposta

Então, as matrizes M e M^-1 são:
M = | & | & | b1 & b2 & b3 | & | & | , M^-1 = inversa de M
Essas matrizes satisfazem a relação [T]B = M^-1 [T]C M , permitindo a mudança de base da matriz da rotação T da base canônica para a base B .

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