Faça o que se pede a seguir para cada rotação do exercício anterior:
Encontre as matrizes e tal que , onde é a base canônica do .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar duas matrizes, e , que estão relacionadas a uma rotação no espaço tridimensional. A matéria envolvida aqui é a mudança de base na Álgebra Linear, especificamente aplicando isso a rotações. Para resolver isso, precisamos entender como converter a representação de uma transformação linear de uma base canônica para outra base qualquer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são bases. Em , a base canônica é formada pelos vetores , e . Já é outra base qualquer que a gente vai usar.
Quando temos uma transformação linear, como uma rotação , ela pode ser representada por matrizes diferentes dependendo da base que estamos usando. Nosso objetivo é relacionar essas duas representações.
Passo 3
A relação entre as matrizes que representam a mesma transformação em diferentes bases é dada pela seguinte equação:
Aqui, é a matriz que representa na base canônica, é a matriz na base , e é a matriz de mudança de base de para .
Passo 4
Para encontrar , precisamos saber como a base está relacionada à base canônica . Supondo que os vetores da base sejam , a matriz é construída colocando esses vetores como colunas:
A matriz M^-1 é simplesmente a inversa de M .
Passo 5
Com M e M^-1 em mãos, a equação [T]B = M^-1 [T]C M nos permite converter a matriz da rotação T da base canônica para a base B . Isso é útil porque, dependendo da aplicação, uma base pode simplificar mais os cálculos ou dar mais insights sobre a transformação.
Resposta
Então, as matrizes M e M^-1 são:
M = | & | & | b1 & b2 & b3 | & | & | , M^-1 = inversa de M
Essas matrizes satisfazem a relação [T]B = M^-1 [T]C M , permitindo a mudança de base da matriz da rotação T da base canônica para a base B .