Determine uma rotação T: R^3 R^3 de ângulo pi / 2, em torno do eixo W=>=r(1,-1,0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma matriz de rotação T: R^3 R^3 que gira vetores em R^3 em um ângulo de pi / 2 (90 graus) ao redor do eixo W , que é definido pelo vetor (1, -1, 0) . Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de Rodrigues para rotações em três dimensões.

Passo 2

O primeiro passo é normalizar o vetor do eixo de rotação. Normalizar significa ajustar o vetor para que ele tenha comprimento 1, o que facilita os cálculos. O vetor dado é w = (1, -1, 0) .
O comprimento de w é:
|w| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2
Portanto, o vetor unitário u na direção de w é:
u = ( 1raiz2, -1raiz2, 0 )

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula de Rodrigues para encontrar a matriz de rotação. A fórmula é:
R = I cos theta + (1 - cos theta) u u^T + sin theta , [u]times
Onde:
  • I é a matriz identidade.
  • theta é o ângulo de rotação ( pi / 2 neste caso).
  • u u^T é o produto externo do vetor u consigo mesmo.
  • [u]times é a matriz de produto vetorial de u .

Passo 4

Vamos calcular cada termo da fórmula:
  1. Matriz identidade I :
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
  1. u u^T :
u u^T = 1raiz2 -1raiz2 0 1raiz2 & -1raiz2 & 0 = 12 & -12 & 0 -12 & 12 & 0 0 & 0 & 0
  1. Matriz [u]times :
[u]times = 0 & -0 & -1raiz2 0 & 0 & -1raiz2 1raiz2 & 1raiz2 & 0 = 0 & 0 & -1raiz2 0 & 0 & -1raiz2 1raiz2 & 1raiz2 & 0

Passo 5

Substituindo theta = pi / 2 na fórmula, temos:
cos ( pi2 ) = 0 e sin ( pi2 ) = 1
Então, a fórmula de Rodrigues fica:
R = I cdot 0 + (1 - 0) u u^T + 1 cdot [u]times = u u^T + [u]times
Substituindo os valores calculados:
R = 12 & -12 & 0 -12 & 12 & 0 0 & 0 & 0 + 0 & 0 & -1raiz2 0 & 0 & -1raiz2 1raiz2 & 1raiz2 & 0

Passo 6

Somando as duas matrizes:
R = 12 + 0 & -12 + 0 & 0 + -1raiz2 -12 + 0 & 12 + 0 & 0 + -1raiz2 0 + 1raiz2 & 0 + 1raiz2 & 0 + 0 = 12 & -12 & -1raiz2 -12 & 12 & -1raiz2 1raiz2 & 1raiz2 & 0

Resposta

A matriz de rotação T de ângulo pi / 2 em torno do eixo W = >=r(1, -1, 0) é:
T = 12 & -12 & -1raiz2 -12 & 12 & -1raiz2 1raiz2 & 1raiz2 & 0

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