Sejam
e
matrizes de ordem
. Então, são válidas as seguintes afirmações:
i) Se
e
são matrizes simétricas (antissimétricas), então
é simétrica (antissimétrica).
ii) Se
e
são matrizes simétricas (antissimétricas), então
é simétrica se, e somente se,
e
comutam.
i) Se
ii) Se
Passo 1
O enunciado considera matrizes
e pede para verificar duas afirmações envolvendo simetria (
) e antissimetria (
). Vamos usar as definições de transposta e as propriedades de soma e produto de matrizes para mostrar:
- A soma de duas matrizes simétricas (ou duas antissimétricas) é simétrica (ou antissimétrica).
- Se
e são ambas simétricas (ou ambas antissimétricas), então é simétrica se, e somente se, .
Passo 2
Relembrando definições:
Também vale a propriedade da transposta em soma e produto:
Passo 3
Prova da afirmação (i):
Suponha e
simétricas, ou seja,
e
. Então
Suponha
logo
é simétrica.
De modo análogo, se e
, então
De modo análogo, se
logo
é antissimétrica.
Passo 4
Prova do “se e somente se” em (ii):
Assuma primeiro que é simétrica, isto é,
Assuma primeiro que
Mas por propriedades da transposta temos
Caso
e
sejam simétricas,
e
, então
logo
.
Se e
forem antissimétricas,
e
, então
Se
e novamente
.
Passo 5
Recíproco: se
, então usando
e
(o sinal igual em ambos), vemos
isto é,
é simétrica.
Resposta
Ambas as afirmações (i) e (ii) são válidas.