Sejam A e B matrizes de ordem n. Então, são válidas as seguintes afirmações:
i) Se A e B são matrizes simétricas (antissimétricas), então A+B é simétrica (antissimétrica).
ii) Se A e B são matrizes simétricas (antissimétricas), então A B é simétrica se, e somente se, A e B comutam.

Passo 1

O enunciado considera matrizes A,BinR^ntimes n e pede para verificar duas afirmações envolvendo simetria ( A^T=A) e antissimetria ( A^T=-A). Vamos usar as definições de transposta e as propriedades de soma e produto de matrizes para mostrar:
  1. A soma de duas matrizes simétricas (ou duas antissimétricas) é simétrica (ou antissimétrica).
  2. Se A e B são ambas simétricas (ou ambas antissimétricas), então AB é simétrica se, e somente se, AB=BA.

Passo 2

Relembrando definições:
A é simétrica iff A^T = A, A é antissimétrica iff A^T = -A éééé
Também vale a propriedade da transposta em soma e produto:
(X+Y)^T = X^T + Y^T, (XY)^T = Y^T X^T

Passo 3

Prova da afirmação (i):
Suponha A e B simétricas, ou seja, A^T=A e B^T=B. Então
(A+B)^T = A^T + B^T = A + B,
logo A+B é simétrica.
De modo análogo, se A^T=-A e B^T=-B, então
(A+B)^T = A^T + B^T = -A + (-B) = -(A+B),
logo A+B é antissimétrica.

Passo 4

Prova do “se e somente se” em (ii):
Assuma primeiro que AB é simétrica, isto é,
(AB)^T = AB
Mas por propriedades da transposta temos
(AB)^T = B^T A^T
Caso A e B sejam simétricas, A^T=A e B^T=B, então
B^T A^T = BA,
logo AB = BA.
Se A e B forem antissimétricas, A^T=-A e B^T=-B, então
(AB)^T = B^T A^T = (-B)(-A) = BA,
e novamente AB=BA.

Passo 5

Recíproco: se AB=BA, então usando A^T=pm A e B^T=pm B (o sinal igual em ambos), vemos
(AB)^T = B^T A^T = (pm B)(pm A) = BA = AB,
isto é, AB é simétrica.

Resposta

Ambas as afirmações (i) e (ii) são válidas.

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