Em
consideremos o produto interno
. Encontre uma base ortonormal para o subespaço vetorial
de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma base ortonormal para o subespaço vetorial
em
, que é gerado pelos polinômios
e
. Estamos trabalhando com produto interno definido por
. Para resolver isso, vamos precisar usar o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar os vetores e, em seguida, normalizá-los para tornar a base ortonormal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores que formam a base inicial do subespaço
. Temos:
Nosso objetivo é transformar esses vetores em uma base ortogonal.
Passo 3
Vamos começar com
. Este é o primeiro vetor da nossa base ortogonal.
Agora, para o segundo vetor, precisamos subtrair de
a projeção de
sobre
. A fórmula da projeção é:
Vamos calcular os produtos internos necessários.
Passo 4
Calculando
:
Calculando
:
Passo 5
Agora, calculamos a projeção:
Subtraindo a projeção de
, obtemos o vetor ortogonal
:
Agora, temos dois vetores ortogonais:
e
.
Passo 6
O próximo passo é normalizar esses vetores para obter uma base ortonormal. Isso significa que cada vetor terá comprimento 1.
Calculamos a norma de
:
E a norma de
:
Passo 7
Agora, normalizamos os vetores:
Resposta
A base ortonormal para o subespaço
é: