Em P2(R) consideremos o produto interno lang<= p(x), q(x)rang<==integral-1^1 p(x) q(x) d x. Encontre uma base ortonormal para o subespaço vetorial U=[1,1-x] de P2(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma base ortonormal para o subespaço vetorial U em P2(R) , que é gerado pelos polinômios 1 e 1 - x . Estamos trabalhando com produto interno definido por lang<= p(x), q(x) rang<= = integral-1^1 p(x) q(x) , dx . Para resolver isso, vamos precisar usar o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar os vetores e, em seguida, normalizá-los para tornar a base ortonormal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que formam a base inicial do subespaço U . Temos:
u1 = 1 e u2 = 1 - x
Nosso objetivo é transformar esses vetores em uma base ortogonal.

Passo 3

Vamos começar com u1 = 1 . Este é o primeiro vetor da nossa base ortogonal.
Agora, para o segundo vetor, precisamos subtrair de u2 a projeção de u2 sobre u1 . A fórmula da projeção é:
proju1(u2) = lang<= u2, u1 rang<=lang<= u1, u1 rang<= u1
Vamos calcular os produtos internos necessários.

Passo 4

Calculando lang<= u1, u1 rang<= :
lang<= u1, u1 rang<= = integral-1^1 1 cdot 1 , dx = integral-1^1 1 , dx = [x]-1^1 = 1 - (-1) = 2
Calculando lang<= u2, u1 rang<= :
lang<= u2, u1 rang<= = integral-1^1 (1 - x) cdot 1 , dx = integral-1^1 (1 - x) , dx = [ x - x^22 ]-1^1 = (1 - 12) - (-1 - 12) = 12 + 32 = 2

Passo 5

Agora, calculamos a projeção:
proju1(u2) = 22 cdot 1 = 1
Subtraindo a projeção de u2 , obtemos o vetor ortogonal v2 :
v2 = u2 - proju1(u2) = (1 - x) - 1 = -x
Agora, temos dois vetores ortogonais: u1 = 1 e v2 = -x .

Passo 6

O próximo passo é normalizar esses vetores para obter uma base ortonormal. Isso significa que cada vetor terá comprimento 1.
Calculamos a norma de u1 :
| u1 | = raizlang<= u1, u1 rang<= = raiz2
E a norma de v2 :
| v2 | = raizlang<= v2, v2 rang<= = raizintegral-1^1 (-x)^2 , dx = raizintegral-1^1 x^2 , dx = raiz[ x^33 ]-1^1 = raiz13 - (-13) = raiz23

Passo 7

Agora, normalizamos os vetores:
e1 = u1| u1 | = 1raiz2
e2 = v2| v2 | = -xraiz23 = -x cdot raiz3raiz2 = -raiz3raiz2 x

Resposta

A base ortonormal para o subespaço U é:
1raiz2, -raiz3raiz2,x

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