TEOREMA: Dada uma base de V , cada vetor de V é escrito de maneira única como combinação linear de v1, v2, …, vn.
DEFINIÇÃO: Sejam base de onde . Chamamos estes números , an de coordenadas de v em relação à base e denotados por:
EXEMPLO: Seja a base beta=(1,0),(0,1), então queremos encontrar as coordenadas do vetor v=(4,3) em relação a essa base, logo temos:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as coordenadas do vetor v=(4,3) em relação à base beta=(1,0),(0,1) de R^2. Pelo teorema, toda combinação linear de vetores de uma base é única, então basta escrever v como combinação de (1,0) e (0,1).
Passo 2
Como beta é base, existem escalares a1 e a2 tais que
v = a1,(1,0) + a2,(0,1)
Passo 3
Igualando componentes de (4,3) com (a1,a2), temos
a1 = 4
a2 = 3
Passo 4
Pelas definições, as coordenadas de v em relação a beta são