TEOREMA: Dada uma base beta=v 1, v 2, ldots vn de V , cada vetor de V é escrito de maneira única como combinação linear de v1, v2, …, vn.
DEFINIÇÃO: Sejam beta=v 1, v 2, ldots v n base de V ev in V onde v=a 1 v 1+ldots+a n v n. Chamamos estes números a 1, ldots, an de coordenadas de v em relação à base beta e denotados por:
(v)beta=(c a 1 cdot cdot cdot a n )
EXEMPLO: Seja a base beta=(1,0),(0,1), então queremos encontrar as coordenadas do vetor v=(4,3) em relação a essa base, logo temos:

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as coordenadas do vetor v=(4,3) em relação à base beta=(1,0),(0,1) de R^2. Pelo teorema, toda combinação linear de vetores de uma base é única, então basta escrever v como combinação de (1,0) e (0,1).

Passo 2

Como beta é base, existem escalares a1 e a2 tais que
v = a1,(1,0) + a2,(0,1)

Passo 3

Igualando componentes de (4,3) com (a1,a2), temos
a1 = 4
a2 = 3

Passo 4

Pelas definições, as coordenadas de v em relação a beta são
(v)beta = 4 3

Resposta

(v)beta = 4 3

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