Consideremos um reservatório contendo
litros de água pura que começa a receber, a uma vazão constante de
litros por segundo, uma solução salina com concentração de
kg de sal por litro de solução. O reservatório disponha de um mecanismo que mantém a solução homogênea à medida que o reservatório enche. Suponhamos que, concomitantemente com a injeção de água salgada no reservatório, começa a ser retirada do reservatório a solução formada, à razão constante de
litros por segundo.
Denotando por
a quantidade de sal, em
, presente no reservatório em um instante
, mostre que
satisfaz a equação diferencial
Denotando por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre como a quantidade de sal em um reservatório muda ao longo do tempo quando adicionamos e retiramos uma solução salgada. Vamos usar conceitos de equações diferenciais e mistura de soluções para resolver isso. Precisaremos entender como calcular as taxas de entrada e saída de sal no reservatório.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que está acontecendo:
-
Entrada de sal: Temos uma solução salgada entrando no reservatório com uma vazão de
litros por segundo. A concentração dessa solução é kg de sal por litro. Então, a quantidade de sal que está entrando por segundo é o produto da vazão pela concentração: . -
Saída de sal: A solução no reservatório está sempre homogênea, ou seja, bem misturada. Isso significa que a concentração de sal na saída é a mesma que a no reservatório. A quantidade de sal que sai por segundo é a vazão (
litros por segundo) multiplicada pela concentração no reservatório, que é , já que é a quantidade total de sal e é o volume total de água.
Passo 3
Agora, para encontrar como a quantidade de sal
muda ao longo do tempo, vamos calcular a diferença entre o sal que entra e o sal que sai. Isso nos dá a taxa de variação de
:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A quantidade de sal
no reservatório satisfaz a equação diferencial