Consideremos um reservatório contendo V litros de água pura que começa a receber, a uma vazão constante de a litros por segundo, uma solução salina com concentração de c kg de sal por litro de solução. O reservatório disponha de um mecanismo que mantém a solução homogênea à medida que o reservatório enche. Suponhamos que, concomitantemente com a injeção de água salgada no reservatório, começa a ser retirada do reservatório a solução formada, à razão constante de a litros por segundo.
Denotando por x(t) a quantidade de sal, em k g, presente no reservatório em um instante t, mostre que x satisfaz a equação diferencial
d xd t=a c-a xV

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre como a quantidade de sal em um reservatório muda ao longo do tempo quando adicionamos e retiramos uma solução salgada. Vamos usar conceitos de equações diferenciais e mistura de soluções para resolver isso. Precisaremos entender como calcular as taxas de entrada e saída de sal no reservatório.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que está acontecendo:
  • Entrada de sal: Temos uma solução salgada entrando no reservatório com uma vazão de a litros por segundo. A concentração dessa solução é c kg de sal por litro. Então, a quantidade de sal que está entrando por segundo é o produto da vazão pela concentração: a times c.
  • Saída de sal: A solução no reservatório está sempre homogênea, ou seja, bem misturada. Isso significa que a concentração de sal na saída é a mesma que a no reservatório. A quantidade de sal que sai por segundo é a vazão ( a litros por segundo) multiplicada pela concentração no reservatório, que é x(t)/V, já que x(t) é a quantidade total de sal e V é o volume total de água.

Passo 3

Agora, para encontrar como a quantidade de sal x(t) muda ao longo do tempo, vamos calcular a diferença entre o sal que entra e o sal que sai. Isso nos dá a taxa de variação de x(t):
d xd t = Taxa de entrada - Taxa de saída í
Substituindo os valores que encontramos:
d xd t = a c - a xV

Resposta

A quantidade de sal x(t) no reservatório satisfaz a equação diferencial
d xd t=a c-a xV

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