Faça um mapa de contorno da função mostrando varias curvas de nível.
f(x, y)=y-sen x

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o mapa de contorno (ou curvas de nível) da função
f(x,y) = y - sen x
Conteúdo: curvas de nível de uma função de duas variáveis. Vamos usar a definição de curva de nível, que diz que, para cada constante k, a curva de nível é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=k.

Passo 2

Definimos o nível k por
f(x,y)=k Longrightarrow y - sen x = k Longrightarrow y = sen x + k
Ou seja, cada curva de nível é exatamente o gráfico da função unidimensional xmapsto sen x, deslocado verticalmente de k.

Passo 3

Características geométricas dessas curvas:
  • São senóides de amplitude 1 e período 2pi.
  • Para cada kinR, a curva é a mesma senóide, só que elevada por k.
  • Essas curvas nunca se cruzam: para valores distintos de k são senóides paralelas no sentido vertical.

Passo 4

Para esboçar o mapa de contorno, basta escolher vários valores de nível k. Por exemplo
k=-2,,-1,,0,,1,,2
Em cada caso, a curva de nível é
y = sen x + k
No plano xy, isso gera cinco senóides: uma centrada em y=-2, outra em y=-1, etc.

Passo 5

Ao desenhar, trace no mesmo sistema de eixos x (horizontal) e y (vertical) as curvas
y = sen x - 2, y = sen x - 1, y = sen x, y = sen x + 1, y = sen x + 2,
podendo até usar linhas tracejadas ou cores diferentes para cada valor de k. Esse conjunto de curvas constitui o mapa de contorno de f.

Resposta

O mapa de contorno de f(x,y)=y-sen x é dado pelas senóides
y = sen x + k, kinR,
sendo usualmente desenhadas para alguns valores igualmente espaçados de k (por exemplo -2,-1,0,1,2).

Exercícios relacionados