Faça um mapa de contorno da função mostrando varias curvas de nível.
f(x, y)=e^1x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para construir o mapa de contorno (curvas de nível) da função f(x,y)=e^1/(x^2+y^2). O conteúdo envolvido é o de curvas de nível de uma função de duas variáveis e vamos precisar usar a definição de nível f(x,y)=C.

Passo 2

Curvas de nível são as curvas no plano onde a função é constante. Para cada valor C>0 fixo definimos
f(x,y)=C
o que dá as equações das curvas de nível.

Passo 3

Substituindo f(x,y)=e^1/(x^2+y^2) na condição de nível temos:
e^1/(x^2+y^2)=C
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
1x^2+y^2=ln C
Então
x^2+y^2=1ln C

Passo 4

Isso mostra que cada curva de nível é um círculo de raio
$$
r©=\sqrt{\frac{1}{\ln C}}$$
centrado na origem. Note que r(C)=raiz1ln C só ocorre quando ln C>0. Como C>1 quando f(x,y)to1^+ e raizx^2+y^2toinfty quando fto+infty, os níveis válidos são (x,y)to(0,0).

Passo 5

Escolhendo alguns valores de nível, por exemplo C=2,,5,,10,,100, obtemos raios:
r(2)=1raizln2, r(5)=1raizln5, r(10)=1raizln10, r(100)=1raizln100
À medida que C cresce, o raio diminui, e conforme Cto1^+, rto+infty.

Passo 6

O mapa de contorno é formado por essas curvas concêntricas: círculos de centro na origem com raios dados por r(C)=1/raizln C para vários valores de C>1. Curvas mais internas correspondem a níveis maiores de f, e curvas mais externas a níveis próximos de 1.

Resposta

As curvas de nível são círculos centrados na origem dados por
x^2+y^2=1ln C,
com C=f(x,y)>1. O mapa de contorno é um conjunto de círculos concêntricos de raio
r(C)=1raizln C,
para vários valores de C>1.

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