Faça um mapa de contorno da função mostrando varias curvas de nível.
Passo 1
O enunciado pede para construir o mapa de contorno (curvas de nível) da função
. O conteúdo envolvido é o de curvas de nível de uma função de duas variáveis e vamos precisar usar a definição de nível
.
Passo 2
Curvas de nível são as curvas no plano onde a função é constante. Para cada valor
fixo definimos
o que dá as equações das curvas de nível.
Passo 3
Substituindo
na condição de nível temos:
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
Então
Passo 4
Isso mostra que cada curva de nível é um círculo de raio
$$
r©=\sqrt{\frac{1}{\ln C}}$$
centrado na origem. Note que só ocorre quando
. Como
quando
e
quando
, os níveis válidos são
.
centrado na origem. Note que
Passo 5
Escolhendo alguns valores de nível, por exemplo
, obtemos raios:
À medida que
cresce, o raio diminui, e conforme
,
.
Passo 6
O mapa de contorno é formado por essas curvas concêntricas: círculos de centro na origem com raios dados por
para vários valores de
. Curvas mais internas correspondem a níveis maiores de
, e curvas mais externas a níveis próximos de 1.
Resposta
As curvas de nível são círculos centrados na origem dados por
com
. O mapa de contorno é um conjunto de círculos concêntricos de raio
para vários valores de
.