Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{1}{z^{3}(z-4)} d z ;
|z-2|=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular ointC1z^3(z-4),dz onde C é o círculo |z-2|=1, usando os Teoremas 5.5.1 (Teorema de Cauchy) e 5.5.2 (Teorema dos Resíduos), conforme apropriado.

Passo 2

Primeiro, identificamos as singularidades da função f(z)=1z^3(z-4). São z=0 (polo de ordem 3) e z=4 (polo simples).

Passo 3

Verificamos quais dessas singularidades estão dentro de C. Como C é o círculo de centro 2 e raio 1, temos |0-2|=2>1 e |4-2|=2>1. Logo, nem z=0 nem z=4 pertencem ao interior de C.

Passo 4

Como não há singularidades no interior de C, a função f(z) é analítica em toda a região fechada definida por C. Pelo Teorema de Cauchy (Teorema 5.5.1), a integral de uma função analítica sobre um contorno fechado é zero.
Alternativamente, pelo Teorema dos Resíduos (Teorema 5.5.2), a soma dos resíduos de f(z) dentro de C é zero (já que não há polos dentro de C), o que também leva a ointCf(z),dz=0.

Resposta

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