Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{1}{z^{3}(z-4)} d z ;
|z-2|=1
\oint_{C} \frac{1}{z^{3}(z-4)} d z ;
|z-2|=1
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o círculo
, usando os Teoremas 5.5.1 (Teorema de Cauchy) e 5.5.2 (Teorema dos Resíduos), conforme apropriado.
Passo 2
Primeiro, identificamos as singularidades da função
. São
(polo de ordem 3) e
(polo simples).
Passo 3
Verificamos quais dessas singularidades estão dentro de
. Como
é o círculo de centro
e raio
, temos
e
. Logo, nem
nem
pertencem ao interior de
.
Passo 4
Como não há singularidades no interior de
, a função
é analítica em toda a região fechada definida por
. Pelo Teorema de Cauchy (Teorema 5.5.1), a integral de uma função analítica sobre um contorno fechado é zero.
Alternativamente, pelo Teorema dos Resíduos (Teorema 5.5.2), a soma dos resíduos de dentro de
é zero (já que não há polos dentro de
), o que também leva a
.
Alternativamente, pelo Teorema dos Resíduos (Teorema 5.5.2), a soma dos resíduos de
Resposta
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