Seja V=P3(R), considere os conjuntos
W1=a t^3+b t^2+c t+d in P3(R): b=c
e
W2=a t^3+b t^2+c t+d in P3(R): a=d=0 e b=-c
Determine uma base para cada um desses subespaços.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base para dois subespaços W1 e W2 do espaço V = P3(R) , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 3 com coeficientes reais. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais e bases. Vamos precisar entender como esses subespaços são definidos e como identificar vetores (neste caso, polinômios) que formam uma base para cada um.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro subespaço, W1 . Ele é definido por:
W1 = a t^3 + b t^2 + c t + d in P3(R) : b = c
Isso significa que em qualquer polinômio de W1 , os coeficientes de t^2 e t são iguais. Vamos reescrever o polinômio usando essa condição.
a t^3 + b t^2 + b t + d
Agora, vamos expressar esse polinômio como uma combinação linear de polinômios básicos:
a t^3 + b(t^2 + t) + d(1)
Isso mostra que qualquer elemento de W1 pode ser escrito como uma combinação desses três polinômios: t^3 , t^2 + t e 1 .

Passo 3

Agora, precisamos garantir que esses três polinômios são linearmente independentes. Se forem, então eles formam uma base para W1 .
Vamos verificar a independência linear:
Suponha que exista uma combinação linear tal que:
k1 t^3 + k2 (t^2 + t) + k3 (1) = 0
Isso implica que todos os coeficientes devem ser zero:
k1 = 0, k2 = 0, k3 = 0
Como a única solução é trivial, os polinômios são linearmente independentes. Portanto, a base para W1 é t^3, t^2 + t, 1 .

Passo 4

Agora vamos para o segundo subespaço, W2 . Ele é definido por:
W2 = a t^3 + b t^2 + c t + d in P3(R) : a = d = 0 e b = -c
Isso significa que em qualquer polinômio de W2 , os coeficientes de t^3 e o termo constante d são zero, e o coeficiente de t^2 é o negativo do coeficiente de t . Vamos reescrever o polinômio usando essas condições.
0 cdot t^3 + b t^2 - b t + 0 = b(t^2 - t)
Isso mostra que qualquer elemento de W2 pode ser escrito como uma combinação do polinômio t^2 - t .

Resposta

Uma base para cada subespaço é:
Base de W1 &: , t^3, t^2 + t, 1 , Base de W2 &: , t^2 - t ,

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