Seja
, considere os conjuntos
e
Determine uma base para cada um desses subespaços.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base para dois subespaços
e
do espaço
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 3 com coeficientes reais. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais e bases. Vamos precisar entender como esses subespaços são definidos e como identificar vetores (neste caso, polinômios) que formam uma base para cada um.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro subespaço,
. Ele é definido por:
Isso significa que em qualquer polinômio de
, os coeficientes de
e
são iguais. Vamos reescrever o polinômio usando essa condição.
Agora, vamos expressar esse polinômio como uma combinação linear de polinômios básicos:
Isso mostra que qualquer elemento de
pode ser escrito como uma combinação desses três polinômios:
,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos garantir que esses três polinômios são linearmente independentes. Se forem, então eles formam uma base para
.
Vamos verificar a independência linear:
Suponha que exista uma combinação linear tal que:
Isso implica que todos os coeficientes devem ser zero:
Como a única solução é trivial, os polinômios são linearmente independentes. Portanto, a base para
é
.
Passo 4
Agora vamos para o segundo subespaço,
. Ele é definido por:
Isso significa que em qualquer polinômio de
, os coeficientes de
e o termo constante
são zero, e o coeficiente de
é o negativo do coeficiente de
. Vamos reescrever o polinômio usando essas condições.
Isso mostra que qualquer elemento de
pode ser escrito como uma combinação do polinômio
.
Resposta
Uma base para cada subespaço é: