Consideremos as seguintes bases do R^2: A=(2,1),(-1,1) e B=(1,0),(2,1). Determinar a matriz-mudança de base [I]B^A.

Passo 1

O enunciado dá duas bases em R^2:
A=(2,1),,(-1,1) e B=(1,0),,(2,1).
Queremos a matriz de mudança de base [I]B^A, ou seja, a matriz que leva coordenadas em A às coordenadas em B.

Passo 2

Por definição, para todo vetor v em R^2 vale
[v]B ;=; [I]B^A,[v]A
Isso implica que as colunas de [I]B^A são justamente as coordenadas, na base B, dos vetores da base A.

Passo 3

Vamos expressar o primeiro vetor de
Comparando componentes, vem
Logo . Então, na base ,

Passo 4

Agora o segundo vetor de
Pelo sistema
temos . Então
na base .

Passo 5

Juntando as duas colunas, obtemos
[I]B^A = 0 & -3 1 & 1

Resposta

[I]B^A = 0 & -3 1 & 1

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