Sejam R, S e T três transformações lineares de R^3 em R^3.
Se [R]=[rrr1 & 0 & 1 2 & 1 & 1 0 & -1 & 1] e
[S]=[rrr -2 & 1 & -1 3 & 1 & 2 1 & -2 & 0 ], ache
T tal que R=S circ T.

Passo 1

O enunciado dá três transformações lineares R,S,T:R^3toR^3 cujas matrizes, na base canônica, satisfazem
[R]= 1 & 0 & 1 2 & 1 & 1 0 & -1 & 1 , [S]= -2 & 1 & -1 3 & 1 & 2 1 & -2 & 0 ,
e pede-se [T] tal que
R = Scirc T
Como a composição corresponde ao produto de matrizes, temos
[R]=[Scirc T]=[S],[T],
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[T] = [S]^-1,[R]
Vamos, portanto, calcular [S]^-1 e depois multiplicar pelo bloco [R].

Passo 2

Calcular det [S] e o inverso de [S].
Primeiro,
det[S] = -2 & 1 & -1 3 & 1 & 2 1 & -2 & 0 = -2,(1cdot0 - 2cdot(-2)) -1,(3cdot0 - 2cdot1) +(-1),(3cdot(-2) - 1cdot1) = -2cdot4 -1cdot(-2) +(-1)cdot(-7) = -8 +2 +7 = 1
Como det[S]=1, temos [S]^-1=adj(S). Calculando a matriz dos cofatores e transpondo, encontra-se
[S]^-1 = 4 & 2 & 3 2 & 1 & 1 -7 & -3 & -5

Passo 3

Agora multiplica-se [S]^-1 por [R]:
[T]=[S]^-1,[R] = 4 & 2 & 3 2 & 1 & 1 -7 & -3 & -5 1 & 0 & 1 2 & 1 & 1 0 & -1 & 1
Fazendo as multiplicações linha times coluna, obtemos
[T] = 8 & -1 & 9 4 & 0 & 4 -13& 2 & -15

Resposta

[T] = 8 & -1 & 9 4 & 0 & 4 -13 & 2 & -15

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