Encontre os geradores para os seguintes subespaços:
(C) (0,5 pts) W3=p(x) in P2 mid p(1)=0.

Passo 1

O enunciado define o subespaço W3=p(x)inP2mid p(1)=0. Vamos usar a ideia de gerar todo polinômio de grau <=2 que satisfaça essa condição, encontrando uma base (geradores).

Passo 2

Seja um polinômio genérico em P2:
p(x)=a,x^2+b,x+c
A condição p(1)=0 implica
a + b + c = 0

Passo 3

Da equação a + b + c = 0 isolamos c:
c = -l(a+br)
Substituindo em p(x) obtemos
p(x)=a,x^2+b,x - (a+b) =a,(x^2-1)+b,(x-1)

Passo 4

Isso mostra que todo p(x)in W3 é combinação linear de x^2-1 e x-1. Esses dois polinômios são linearmente independentes em P2 e, portanto, formam um sistema gerador (base) de W3.

Resposta

Um conjunto de geradores para W3 é
,x^2-1,;x-1

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