Determine a equação da reta r que passa por P=(2,3,-1) e é perpendicular ao plano pi:=x-5 y-4 z-1=0. Encontre o ponto Q tal que Q=r cap pi.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta r que passa por P=(2,3,-1) e é perpendicular ao plano
pi: x - 5y - 4z - 1 = 0
Como uma reta perpendicular a um plano tem direção dada pelo vetor normal ao plano, vamos:
  1. Encontrar o vetor normal n de pi.
  2. Escrever a equação vetorial e paramétrica de r.
  3. Determinar o ponto Q fazendo a reta intersectar o plano.

Passo 2

O coeficiente de x,y,z na equação de pi dá o vetor normal
n = (1,,-5,,-4)

Passo 3

Em forma vetorial, a reta r que passa por P e tem direção n é
r(t) = (2,3,-1) + t,(1,-5,-4), tinR
Em coordenadas paramétricas:
x = 2 + t, y = 3 - 5t, z = -1 - 4t

Passo 4

Para achar Q fazemos com que (x,y,z) da reta satisfaça a equação de pi. Substituindo:
(2+t) - 5(3-5t) - 4(-1-4t) - 1 = 0
Expandindo e somando termos:
2 + t - 15 +25t +4 +16t - 1 = 0 Longrightarrow 42t - 10 = 0 Longrightarrow t = 1042 = 521

Passo 5

Substituindo t=tfrac521 nas paramétricas:
xQ &= 2 + 521 = 42+521 = 4721, yQ &= 3 - 5cdot521 = 63 - 2521 = 3821, zQ &= -1 - 4cdot521 = -21 - 2021 = -4121
Portanto,
Q = l(tfrac4721,,tfrac3821,,-tfrac4121r)

Resposta

A equação vetorial da reta é
r(t) = (2,3,-1) + t,(1,-5,-4), tinR,
e o ponto de interseção é
Q = l(tfrac4721,,tfrac3821,,-tfrac4121r)

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