Determinar os valores próprios e os vetores próprios da matriz
A=[ll 4 & 5 2 & 1 ]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 4 & 5 2 & 1
e pede os valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores). Esse conteúdo faz parte de álgebra linear e requer calcular o polinômio característico de A, resolver para lambda e depois achar os vetores não nulos que satisfazem (A - lambda I)x = 0.

Passo 2

Para obter o polinômio característico, computamos
det(A - lambda I) = det4-lambda & 5 [6pt]2 & 1-lambda = (4-lambda)(1-lambda) - 5cdot 2
Fazendo as operações,
(4-lambda)(1-lambda) - 10 = 4 -5lambda + lambda^2 - 10 = lambda^2 -5lambda -6 ]

Passo 3

Resolvendo o polinômio característico
lambda^2 -5lambda -6 = 0
pela fórmula de Bhaskara,
lambda = 5 pm raiz25 +242 = 5 pm 72
Logo os dois autovalores são
lambda1 = 5 +72 = 6, lambda2 = 5 -72 = -1

Passo 4

Agora achamos um autovetor para . Resolvemos
Da primeira equação vem . Tomando , obtemos
como autovetor associado a .]

Passo 5

Para resolvemos
Da primeira equação segue . Escolhendo , um autovetor é
associado a .]

Resposta

Os autovalores são lambda1=6 e lambda2=-1.
Um autovetor para lambda1=6 é 52 e para lambda2=-1 é -11.

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