Mostrar que para qualquer base de um espaço vetorial, a matrizmudança de base é a matriz identidade.
17) Em relação aos operadores dados, determinar primeiramente a matriz na base e, a seguir, utilizar a relação entre matrizes semelhantes para calcular a matriz de na base .
a) e
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: mostrar que para qualquer base de um espaço vetorial a matriz mudança de base é a identidade; e, no exercício (a), dado o operador linear definido por , calcular sua matriz na base e em seguida na base usando semelhança de matrizes. Vamos usar conceitos de coordenadas, mudança de base e matrizes similares.
Passo 2
Para qualquer base de um espaço , a matriz tem como colunas as coordenadas de em relação a . Como cada se escreve
as coordenadas são exatamente o vetor canônico . Logo cada coluna de é e isso gera a matriz identidade:
Passo 3
Para achar , aplicamos aos vetores de :
Agora expressamos cada imagem em coordenadas de . Como a ordem de é :
Passo 4
As colunas de são e , logo
Passo 5
Para usar semelhança, precisamos da matriz de passagem . Cada coluna é a coordenada de cada vetor de em relação a . Para resolvemos
Para obtemos
Assim
O determinante é det P=-tfrac23, então por fórmula de inversa em 2times2