Mostrar que para qualquer base A de um espaço vetorial, a matrizmudança de base [I]A^A é a matriz identidade.
17) Em relação aos operadores dados, determinar primeiramente a matriz T na base A e, a seguir, utilizar a relação entre matrizes semelhantes para calcular a matriz de T na base B.
a) T: I R^2 I R^2, T(x, y)=(x+2 y,-x+y)
A=(-1,1),(1,2) e B=(1,-3),(0,2)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: mostrar que para qualquer base A de um espaço vetorial a matriz mudança de base [I]A^A é a identidade; e, no exercício 17(a), dado o operador linear TcolonR^2toR^2 definido por T(x,y)=(x+2y,,-x+y), calcular sua matriz na base A=(-1,1),(1,2) e em seguida na base B=(1,-3),(0,2) usando semelhança de matrizes. Vamos usar conceitos de coordenadas, mudança de base e matrizes similares.

Passo 2

Para qualquer base A=v1,dots,vn de um espaço V, a matriz [I]A^A tem como colunas as coordenadas de vj em relação a A. Como cada vj se escreve
vj = 1cdot vj + 0cdot vkne j,
as coordenadas são exatamente o vetor canônico ej. Logo cada coluna de [I]A^A é ej e isso gera a matriz identidade:
[I]A^A = In

Passo 3

Para achar [T]A, aplicamos T aos vetores de A:
T(-1,1)=(-1+2cdot1,,-(-1)+1)=(1,2), T(1,2)=(1+2cdot2,,-1+2)=(5,1)
Agora expressamos cada imagem em coordenadas de A. Como a ordem de A é v1=(-1,1),v2=(1,2):
T(v1)=(1,2)=0cdot(-1,1)+1cdot(1,2) Longrightarrow [T(v1)]A=01,
T(v2)=(5,1)=alpha(-1,1)+beta(1,2) Longrightarrow alpha=-3,;beta=2 Longrightarrow [T(v2)]A=-32

Passo 4

As colunas de [T]A são [T(v1)]A e [T(v2)]A, logo
[T]A = 0 & -31 & 2

Passo 5

Para usar semelhança, precisamos da matriz de passagem P=[I]B^A. Cada coluna é a coordenada de cada vetor de B em relação a A. Para (1,-3) resolvemos
alpha(-1,1)+beta(1,2)=(1,-3) Longrightarrow alpha=-tfrac53,;beta=-tfrac23
Para (0,2) obtemos
alpha(-1,1)+beta(1,2)=(0,2) Longrightarrow alpha=beta=tfrac23
Assim
P = -tfrac53 & tfrac23[6pt]-tfrac23 & tfrac23
O determinante é det P=-tfrac23, então por fórmula de inversa em 2times2
P^-1 = 1det P tfrac23 & -tfrac23[3pt]tfrac23 & -tfrac53 = -1 & 1[3pt]-1 & tfrac52 ]

Passo 6

Por semelhança,
[T]B = P^-1,[T]A,P
Primeiro
[T]A,P = 0 & -31 & 2 -tfrac53 & tfrac23[3pt]-tfrac23 & tfrac23 = 2 & -2[3pt]-3 & 2
Em seguida
[T]B = -1 & 1[3pt]-1 & tfrac52 2 & -2[3pt]-3 & 2 = -5 & 4[3pt]-tfrac192 & 7 ]

Resposta

A matriz de mudança de base [I]A^A é a identidade I2.
[T]A=0 & -31 & 2
[T]B=-5 & 4[3pt]-tfrac192 & 7]

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