Se
[I]B^A=(lll 0 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 )
Determinar [v]A, sabendo que:
[V]B=[c3 -2 0]
16) Mostrar que para qualquer base A de um espaço vetorial, a matrizmudança de base [I]A^A é a matriz identidade.

Passo 1

O enunciado pertence ao conteúdo de mudança de base em espaços vetoriais. Temos a matriz de passagem de coordenadas de uma base B para outra base A, ou seja
[I]B^A = 0 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 ,
e as coordenadas de um vetor v na base B:
[v]B = 3 -2 0
A primeira tarefa é calcular as coordenadas [v]A. A segunda é mostrar que para qualquer base A, a matriz de passagem [I]A^A (de A em si mesma) é a matriz identidade.

Passo 2

Pela definição de mudança de base, as coordenadas de v na base A vêm da multiplicação
[v]A = [I]B^A,[v]B

Passo 3

Vamos executar o produto
0 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 3 -2 0 = 0cdot 3 + 1cdot (-2) + 0cdot 0[6pt] 1cdot 3 + 1cdot (-2) + 0cdot 0[6pt] 1cdot 3 + 1cdot (-2) + 1cdot 0 = -2[3pt] 1[3pt] 1 ]

Passo 4

Para ver que [I]A^A é a identidade, lembramos que a j-ésima coluna de [I]A^A é justamente o vetor base aj expresso em coordenadas na própria base A. Mas cada vetor base aj tem coordenadas (0,dots,0,1,0,dots,0) (com o 1 na posição j). Logo
[I]A^A = 1 & 0 & cdots & 0 0 & 1 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & 1 ,
que é a matriz identidade.

Resposta

[v]A = -2 1 1 ,
e de fato, para toda base A,
[I]A^A=I,
a matriz identidade.

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