Determinar [v]A, sabendo que: [V]B=[c3 -2 0]
16) Mostrar que para qualquer base A de um espaço vetorial, a matrizmudança de base [I]A^A é a matriz identidade.
Passo 1
O enunciado pertence ao conteúdo de mudança de base em espaços vetoriais. Temos a matriz de passagem de coordenadas de uma base B para outra base A, ou seja
[I]B^A = 0 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 ,
e as coordenadas de um vetor v na base B:
[v]B = 3 -2 0
A primeira tarefa é calcular as coordenadas [v]A. A segunda é mostrar que para qualquer base A, a matriz de passagem [I]A^A (de A em si mesma) é a matriz identidade.
Passo 2
Pela definição de mudança de base, as coordenadas de v na base A vêm da multiplicação
Para ver que [I]A^A é a identidade, lembramos que a j-ésima coluna de [I]A^A é justamente o vetor base aj expresso em coordenadas na própria base A. Mas cada vetor base aj tem coordenadas (0,dots,0,1,0,dots,0) (com o 1 na posição j). Logo