Consideremos em
as seguintes operações:
(a) Adição:
.
(b) Multiplicação:
.
Verifique se
é um corpo, com as operações definidas acima.
(a) Adição:
(b) Multiplicação:
Verifique se
Passo 1
O enunciado define em
duas operações:
– adição ,
– multiplicação .
Queremos ver se satisfaz os axiomas de corpo:
– adição
– multiplicação
Queremos ver se
-
é grupo abeliano; -
é grupo abeliano; - distributividade de
sobre .
Passo 2
Verificamos
:
- fechadura: se
então ; - comutatividade:
; - associatividade:
- elemento neutro
satisfaz , ou seja ; - inverso de
é , pois .
Logoé de fato um grupo abeliano.
Passo 3
Agora
significa
inteiro, pois
. Checamos:
– neutro satisfaz
.
– fechadura: se então
.
– comutatividade? em geral , então
não é comutativa.
– associatividade?
– neutro
– fechadura: se
– comutatividade? em geral
– associatividade?
e
na maioria dos casos, logo falta associatividade.
Mesmo sem entrar em inversos, já falha como grupo abeliano.
Mesmo sem entrar em inversos, já falha como grupo abeliano.
Passo 4
Finalmente, a distributividade exigiria
então ser forçada a
o que claramente não vale em geral.