Consideremos em F=(0,+infty) as seguintes operações:
(a) Adição: x oplus y=x y.
(b) Multiplicação: x odot y=x^y.
Verifique se F é um corpo, com as operações definidas acima.

Passo 1

O enunciado define em F=(0,+infty) duas operações:
– adição xoplus y = x,y,
– multiplicação xodot y = x^y.
Queremos ver se l(F,oplus,odotr) satisfaz os axiomas de corpo:
  1. (F,oplus) é grupo abeliano;
  2. (Fsetminus0oplus,odot) é grupo abeliano;
  3. distributividade de odot sobre oplus.

Passo 2

Verificamos (F,oplus):
  1. fechadura: se x,y>0 então xoplus y=xy>0;
  2. comutatividade: xoplus y=xy=yx=yoplus x;
  3. associatividade:
(xoplus y)oplus z=(xy)z=xyz e xoplus(yoplus z)=x(yz)=xyz;
  1. elemento neutro 0oplus satisfaz xoplus0oplus=x, ou seja xcdot0oplus=ximplies0oplus=1;
  2. inverso de x é x^-1oplus=1/x, pois xoplus(1/x)=1.
    Logo (F,oplus) é de fato um grupo abeliano.

Passo 3

Agora (Fsetminus0oplus,odot) significa (0,+infty) inteiro, pois 0oplus=1. Checamos:
– neutro 1odot satisfaz xodot1odot=x^1odot=ximplies1odot=1.
– fechadura: se x,y>0 então xodot y=x^y>0.
– comutatividade? em geral x^yneq y^x, então odot não é comutativa.
– associatividade?
(xodot y)odot z=(x^y)^z=x^y,z, xodot(yodot z)=x^(y^z),
e x^y,zneq x^(y^z) na maioria dos casos, logo falta associatividade.
Mesmo sem entrar em inversos, já falha como grupo abeliano.

Passo 4

Finalmente, a distributividade exigiria
xodot(yoplus z) =x^(y,z) e (xodot y)oplus(xodot z) =(x^y),(x^z)=x^y+z,
então ser forçada a
x^y,z=x^y+z forall x,y,z>0,
o que claramente não vale em geral.

Resposta

F não é um corpo, pois a operação odot falha em ser comutativa, associativa e distributiva sobre oplus.

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