Encontre a solucão geral, e esboce o retrato de fase, dos seguintes sistemas de equações diferenciais:
X^prime=[ll2 & -3 1 & -2] X.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear homogêneo
X' = A,X, A = 2 & -31 & -2
e pede a solução geral e o retrato de fase. Para isso vamos usar a teoria de autovalores e autovetores de matrizes: primeiro encontramos o polinômio característico de A, depois os autovetores associados, montamos a solução geral pela combinação linear dos modos fundamentais e, por fim, analisamos o tipo de equilíbrio na origem.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det2-lambda & -31 & -2-lambda =(2-lambda)(-2-lambda)-(-3)cdot1 =lambda^2-1
Daí
lambda^2-1=0 Longrightarrow lambda1=1,;lambda2=-1

Passo 3

Para cada autovalor lambda resolvemos (A-lambda I)v=0:
  • Se lambda1=1,
A - I = 1 & -3 1 & -3,
daí v1 = (3,1)^T.
  • Se lambda2 = -1,
A + I = 3 & -3 1 & -1,
daí v2 = (1,1)^T.

Passo 4

A solução geral é a combinação linear dos modos e^lambda tv:
X(t) = C1,e^t31 + C2,e^-t11,
com constantes arbitrárias C1,C2inR.

Passo 5

Como há um autovalor positivo ( lambda1=1) e um negativo ( lambda2=-1), a origem é um ponto de sela.
O manifold instável é a reta gerada por v1=(3,1), ao longo da qual as trajetórias divergem para tto+infty.
O manifold estável é a reta gerada por v2=(1,1), ao longo da qual as trajetórias convergem para a origem quando tto+infty.
Para outras condições iniciais, as curvas saem aproximando-se da reta estável e depois divergem seguindo a reta instável, formando o retrato de sela típico.

Resposta

A solução geral é
X(t) = C1,e^t31 + C2,e^-t11,
e o retrato de fase mostra origem como um ponto de sela, com manifold estável na direção (1,1) e manifold instável na direção (3,1).

Exercícios relacionados