Encontre a solucão geral, e esboce o retrato de fase, dos seguintes sistemas de equações diferenciais: .
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear homogêneo
X' = A,X, A = 2 & -31 & -2
e pede a solução geral e o retrato de fase. Para isso vamos usar a teoria de autovalores e autovetores de matrizes: primeiro encontramos o polinômio característico de A, depois os autovetores associados, montamos a solução geral pela combinação linear dos modos fundamentais e, por fim, analisamos o tipo de equilíbrio na origem.
Para cada autovalor lambda resolvemos (A-lambda I)v=0:
Se lambda1=1,
A - I = 1 & -3 1 & -3,
daí v1 = (3,1)^T.
Se lambda2 = -1,
A + I = 3 & -3 1 & -1,
daí v2 = (1,1)^T.
Passo 4
A solução geral é a combinação linear dos modos e^lambda tv:
X(t) = C1,e^t31 + C2,e^-t11,
com constantes arbitrárias C1,C2inR.
Passo 5
Como há um autovalor positivo (lambda1=1) e um negativo (lambda2=-1), a origem é um ponto de sela.
O manifold instável é a reta gerada por v1=(3,1), ao longo da qual as trajetórias divergem para tto+infty.
O manifold estável é a reta gerada por v2=(1,1), ao longo da qual as trajetórias convergem para a origem quando tto+infty.
Para outras condições iniciais, as curvas saem aproximando-se da reta estável e depois divergem seguindo a reta instável, formando o retrato de sela típico.
Resposta
A solução geral é
X(t) = C1,e^t31 + C2,e^-t11,
e o retrato de fase mostra origem como um ponto de sela, com manifold estável na direção (1,1) e manifold instável na direção (3,1).