DETERMINE os AUTOVALORES e os AUTOVETORES das matrizes abaixo:
(cc12 & 13 -13 & -13)

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
A = 12 & 13[6pt] -13 & -13
O conteúdo é encontrar o polinômio característico det(A - lambda I)=0 para achar os autovalores lambda e, em seguida, resolver (A - lambda I)v=0 para obter cada autovetor v.]

Passo 2

Montamos o determinante
detl(A - lambda Ir) =det tfrac12 - lambda & tfrac13[4pt] -tfrac13 & -tfrac13 - lambda
e expandimos:
(tfrac12 - lambda)(-tfrac13 - lambda); - ;l(tfrac13r)l(-tfrac13r)
Calculando cada termo,
(tfrac12 - lambda)(-tfrac13 - lambda) = -tfrac16 - tfrac12lambda + tfrac13lambda + lambda^2
e
-l(tfrac13r)l(-tfrac13r) = tfrac19
Então o polinômio característico fica
lambda^2 + l(-tfrac12 + tfrac13r)lambda + l(-tfrac16 + tfrac19r) = 0
ou seja
lambda^2 - tfrac16,lambda - tfrac118 = 0 ]

Passo 3

Multiplicando tudo por 18 para facilitar,
18lambda^2 - 3lambda - 1 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara,
lambda = 3 pm raiz(-3)^2 - 4cdot18cdot(-1)2cdot18 = 3 pm raiz9 + 7236 = 3 pm 936
Assim obtemos os dois autovalores:
lambda1 = 3+936 = 13, lambda2 = 3-936 = -16

Passo 4

Para resolvemos
Isso dá o sistema
ou seja . Podemos escolher , logo um autovetor é
]

Passo 5

Para resolvemos
Isso dá o sistema
ou seja . Tomando , um autovetor é
]

Resposta

Os autovalores são
lambda1 = 13 e lambda2 = -16
Os autovetores correspondentes podem ser tomados como
v1 = -21 para;lambda1, v2 = 1-2 para;lambda2

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